Abstand zwischen Punkten minimieren

Question

nachfolgend meine Aufgabe:

Gegeben die Punkte (1,1),(2,3) und (3,4)
a) Finden Sie die Funktion \( f(x)=a x+b, \) die den quadratischen Abstand zu den Punkten \( \left(x_{i}, y_{i}\right), A=\sum \limits_{i=1}^{3}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} \) minimiert, indem Sie eine Lösung für
$$ 0=\left.\operatorname{grad}(A)\right|_{(a, b)} \text { finden. } $$

Was bedeutet es den grad(A) = 0 zu setzen? Und welche Möglichkeiten gibt es eine Funktion zu "finden", die den Abstand minimiert? '

Ich komme leider nicht voran und habe keinen wirklichen Ansatz. Ich würde mich über eure Hilfe freuen.

Comments

Meinst du jetzt die Regressionsgerade nach der
Methode der kleinsten Quadrate ?

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Ja, genau. :)

Answer 1

Hallo,

Was bedeutet es den grad(A) = 0 zu setzen?

Der Ausdruck $$0=\left.\operatorname{grad}(A)\right|_{(a, b)}$$bedeutet, dass man die Funktion \(A\), die von den Parametern \(a\) und \(b\) abhängt, nach eben diesen Parametern ableitet und anschließend die Ableitung zu 0 setzen soll, um ein Optimum zu bestimmen. Da das hier zwei Parameter sind, erhältst Du nach dem Ableiten einen Vektor (den Gradienten) als Ergebnis (\(\rightarrow \text{grad}\)).

Und welche Möglichkeiten gibt es eine Funktion zu "finden", die den Abstand minimiert? '

.. und daraus ergibt sich dann auch eine Funktion, die die Parameter \(a\) und \(b\) so bestimmt, dass der Abstand minimal wird. Geht so: $$\begin{aligned} A &=\sum \limits_{i=1}^{3}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2}  \\&=  \sum \limits_{i=1}^{3}\left(ax_{i} + b-y_{i}\right)^{2}  \\ \text{grad}(A) &= \begin{pmatrix} \frac{\partial A}{\partial a}\\ \frac{\partial A}{\partial b}\end{pmatrix}   \\&= \begin{pmatrix} \sum 2(ax_i + b - y_i) x_i \\ \sum 2(ax_i + b - y_i) \end{pmatrix} \\&=  2 \begin{pmatrix} \sum x_i^2& \sum x_i \\  \sum x_i & \sum 1 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} \sum x_i y_i\\ \sum y_i \end{pmatrix} \\&= \underline 0 \end{aligned}$$Das kann man natürlich zunächst durch 2 teilen und den konstanten Part auf die rechte Seite schaffen. Dann erhält man das LGS:$$\begin{pmatrix} \sum x_i^2& \sum x_i \\  \sum x_i & \sum 1 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum x_i y_i\\ \sum y_i \end{pmatrix}$$Setzt man die Zahlenwerte ein, gibt das dieses LGS$$\begin{pmatrix}14& 6\\ 6& 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19\\ 8 \end{pmatrix}$$mit der Lösung \(a=3/2\) und \(b=-1/3\) und als Graph sieht es so aus:

~plot~ {1|1};{2|3};{3|4};3x/2-1/3;[[-2|6|-1|7]] ~plot~

Answer 2

y = m * x + b  | * x
xy = m *x^2 + bx

Tabelle
(1,1),(2,3) und (3,4)
x    y    x^2  xy 
1   1    1    1
2   3    4    6
3   4    9    12

Aufsummieren
∑ y = m * ∑ x + n * b 
∑ xy = m * ∑ x^2 + b * ∑ x

Summe aller
x = 6
y = 8
x^2 = 14
xy = 19
n * b = 3 * b

8 = m * 6 + 3 * b
19 = m * 14 + b * 6

m = 3/2
b = -1/3

f ( x ) = 3/2 * x -1/3

Zur Überprüfung zeichnest du die 3 Punkte in
ein Koordinatensystem ein und dann die
Ausgleichsgerade dazu.

Comments

Ich bedanke mich vielmals bei dir. Ich werde das gleich mal nachrechnen. :)