Zweiter Mittelwertsatz veranschaulichen

Question

Der zweiter Mittelwertsatz besagt :

$$ \text { Seien } f, g :[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \text { zwei stetige Funktionen, die auf }(a, b) \text { Weiter sei } g^{\prime}(x) \neq 0 \text { für alle } x \in(a, b) . \text{ Dann ist } g(b) \neq g(a) \text { und es existiert ein } \xi \in(a, b) \text { mit } \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} $$

was heißt das ? wie kann ich mir \( \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \)  vorstellen.

eine graphische darstellung wäre super.

Answer 1

Wenn man sich vorstellt, dass f und g Funktionen

sind, die bei eine Autofahrt angeben wie weit zwei

verschiedene Fahrzeuge f und g  zur Zeit x gefahren sind,

dann sind ja f(b) - f(a) bzw. g(b) - g(a) die

Fahrtstrecken der beiden von Anfang (a) bis

Ende (b) der Beobachtung. Und

( f(b) - f(a) ) / ( g(b) - g(a) ) ist das Verhältnis der

Gesamtfahrstrecken zueinander. Wenn das etwa gleich 2 ist,

ist f doppelt so weit gefahren wie g. Dann heißt das:

Es gab während der gesamten Fahrzeit mindestens einen

Zeitpunkt, zu dem f doppelt so schnell war wie g, denn

f ' (ξ) / g ' (ξ) ist ja das Verhältnis der Geschwindigkeiten.