Beweis mit Hilfe des Mittelwertsatzes

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie (z. B. mit Hilfe des Mittelwertsatzes oder einer der Folgerungen daraus) für w > 0 die Ungleichungen
tanh(w) < w < sinh(w).
Hierbei sind sinh(w) = 1 (exp(w)−exp(−w)) und tanh(w) =\( \frac{sinh(w)}{cosh(w)} \)= \( \frac{exp(w)-exp(-w)}{exp(w)+exp(-w)} \)
die hyperbolischen Sinus- bzw. Tangensfunktionen. Leiten Sie als Anwendung mit Hilfe der
Substitution w = ln(\( \sqrt{\frac{y}{x}} \) ) für y > x > 0 die Ungleichungen zwischen dem geometrischen, 
logarithmischen und arithmetischen Mittel her, das sind
 \( \sqrt{xy } \) < \( \frac{y-x}{In(y)-In(x)} \) < \( \frac{y+x}{2} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

Answer 1

Hallo

hast du die Substitution gemacht? dabei beachten -ln(a)=ln(a^(-1))?

 Brüche auf den Hauptnenner bringen und die Ungleichung für die substituierte Gleichungen hinschreiben.

Für den MWS brauchst du dann natürlich noch die Ableitungen, und Werte bei w=0

beachte: tanh(x) liegt unterhalb seiner Tangente bei 0 sinh oberhalb.

Gruß lul

Comments

wie genau mache ich das ? in diesem Thema bin ich echt nicht gut und bin auch echt am verzweifeln

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Hallo

 hast du denn schon mal die Substitution gemacht? welche Ungleichung erhältst du mit meinen Hinweisen? schreib den MWS für einen Punkt zwischen 0 und x auf.

einfach ohne Mitarbeit lös ich dir sicher nicht deine HA, da ich ja in der Klausur auch nicht neben dir sitze.

Gruß lul