Question

Die Funktionen f und g seien in einer Umgebung des Punktes x0 ∈ R n + 1-mal stetig differenzierbar.

Ferner gelte f^(k)(x0) = g^(k)(x0) = 0 für 0 ≤ k ≤ n sowie g(n+1)(x0) ̸= 0. Zeigen Sie:

lim (x->x0) f(x)/g(x) = (f⁽ⁿ⁺¹⁾(x0))/(g⁽ⁿ⁺¹⁾(x0))

Ich weiss nur, dass f(x)/g(x) = f‘(x)/g‘(x) für l hospital gelten und die Bedingungen also dass beide differenzierbar sind und g(x) nicht 0 ist gelten.

Weiter weiss ich nicht also kann mir da bitte jemand helfen??

Answer 1

Hallo

du wendest einfach L'Hopital k mal hintereinander an, dann hast du immer noch 0 durch 0, erst beim k+1 ten mal hast du dann einen GW

 anderer Weg: da du alle Ableitungen bis k kennst kannst du die Taylorreihe  um x_0 leicht hinschreiben und die für den GW benutzen  die fängt mit f^(k+1)(x-x0)/(k+1)!*(x-x0)^k+1 an ebenso für g, die  höheren Glieder sind alle bei x=x_0 Null wenn du durch  (x-x0)^k+1 kürzt.

Gruß lul