Aloha :)
Du hast die Funktion \(g(x,y)=x^2y^2+10y\) gegeben. An der Stelle \((1,1)\) ist die Ableitung von \(g\) in Richtung von \(\vec b=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\) gesucht. Du benötigst für die Richtungsabletung den Gradient von \(g(x,y)\) und den Einheitsvektor von \(\vec b\). Es ist bei der Richtungsableitung immer wichtig, den Vektor, der die Richtung angibt, zu normieren, sonst ist das Ergebnis nicht eindeutig:
$$\text{grad}\,g(x,y)=\left(\begin{array}{c}2xy^2\\2x^2y+10\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\text{grad}\,g(1,1)=\left(\begin{array}{c}2\\12\end{array}\right)$$$$\vec b^0=\frac{1}{\left\Vert\vec b\right\Vert}\,\vec b=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt 5}\,\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$$Die Richtungsableitung ist also:
$$=\frac{1}{\sqrt 5}\cdot\left(\begin{array}{c}2\\12\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)=\frac{26}{\sqrt 5}$$
