Gegeben ist die Funktionenschar ƒa(x) = \( \frac{1}{2} \)(a·ex + e-a·x), a ∈ ℝ, a ≠ 0, a ≠ -1.
Der Graph von fa schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = k, k < 0 für a < -1 im 3. Quadranten eine Fläche Aa(k) ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a.
Ansatz:
Leider bin ich mir hier absolut nicht sicher. Ich habe folgendes versucht:
A = \( \int\limits_{0}^{k} \)ƒa(x) dx = \( \frac{1}{2} \)a·ex - \( \frac{1}{2a} \)e-a·x\( \int\limits_{0}^{k} \) = \( \frac{1}{2} \)a·ek - \( \frac{1}{2a} \) e-a·k FE
nur bin ich mir ziemlich sicher, dass das ganz sicher nicht stimmen kann. Müsste ich nicht den x-Wert des Schnittpunktes zwischen ƒa(x) und der Geraden x = k als Intervallgrenze einfügen? Da habe ich leider überhaupt keine Lösung für. Versucht habe ich da folgendes:
ƒa(x) = x
\( \frac{1}{2} \)(a·ex + e-a·x) = k
a·ex + e-a·x = 2·k
ln(a) + x - a·x = ln(2·k)
ln(a) - ln(2·k) = x·(a - 1)
x = \( \frac{ln(a) - ln(2·k)}{a - 1} \)
und das macht nun mal leider gar keinen Sinn.
Bitte helft mir aus, wenn ihr könnt.