Beweis, dass Menge im R^2 abgeschlossen ist

Question

Aufgabe:

f: ℝ→ℝ, f(x):=x²,

zeigen Sie, dass die Menge:

{ \( \begin{pmatrix} x\\f(x) \end{pmatrix} \) ∈ℝ², x∈ℝ} abgeschlossen ist. Ist die Menge auch kompakt?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass M abgeschlossen ist, wenn M alle Randpunkte von M enthält - wie kann ich das jedoch in diesem Fall zeigen?

Comments

Entweder ist die Punktmenge selbst schon ihr Rand oder sie hat gar keinen Rand.

Answer 1

Sei P = (x₀, y₀) ∈ ℝ² mit y₀ ≠ x₀².

Dann ordnet

        d(x) := √((x - x₀)² + (x² - y₀)²)

jedem x ∈ ℝ den Abstand zwischen dem Punkt (x₀, y₀) und dem Punkt (x, f(x)) zu. Bestimme das Minimum von d und zeige dass es größer als 0 ist. Dann hast du gezeigt, dass es eine Umgebung um (x₀ | y₀) gibt, in der keine Punkte von M liegen, dass also

        P ∉ M ⇒ P ist kein Randpunkt von M

für jedes P ∈ ℝ² gilt.