Aufgabe:
Bei Einer Qualitätskontrolle werden die Längen von Stahlstiften geprüft. Aus langjährigen Beobachtungen sind folgende Werte bekannt:
Erwartungswert der Länge: 65 mm
Standardabweichung der Länge:1,5 mm
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Länge eines Stiftes um mehr als 5% des Erwartungswertes von diesem abweicht (Abschätzung über Tschebyscheff-Ungleichung) [Lösung: 0,2131]
b) Berechnen Sie unter der Voraussetzung, daß 200 Stifte geprüft werden, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das arithmetische Mittel der Längen um mehr als 1% vom Erwartungswert abweicht (Abschätzung über Tschebyscheff-Ungleichung) [Lösung: 0,02663]
P(|x-65|>13/2) = ((1,5²)/200*(13/20)²) = 0,026627
Problem/Ansatz:
a) P(|x-65|>13/4) = (1,5²)/(13/4)² = 0,21301
Weicht etwas von der Lösung ab, warum?
Ich hab mir gedacht, dass man die Tschebyscheff Ungleichung noch irgendwie ergänzen muss, weil es sich auf 200 Stifte bezieht, also habe ich rumprobiert und komme mit
P(|x-65|>13/2) = ((1,5²)/(13/20)²)/20 = 0,026627
auf das richtige Ergebnis. Leider weiß ich nicht, ob es sich dabei um einen Zufall handelt oder es irgendeine Strategie für die Lösung solch einer Aufgabe gibt. Ich habe ja einfach durch 20 dividiert, weil ich ausprobiert hab, was beim Dividieren durch 2, 200, 20 herauskommt.
Update: Ich habe nun festgestellt, dass ich den Nenner mit 200 multiplizieren kann, um auf das richtige Ergebnis zu kommen. Da sollte dann bei ähnlichen Aufgaben hoffentlich auch klappen. Hätte gerne verstanden, wieso, aber ich komme damit nun erstmal klar.
Besten Dank vorab!
