Was bedeuten diese Klammern? (Binomialkoeffizient)

Question

Aufgabe:

\( \dfrac{\displaystyle\binom{150}{10}\cdot \binom{850}{90}}{\displaystyle\binom{1000}{100}} \) 

Problem/Ansatz:

Als Ergebnis soll rauskommen 0.0413. Wie komme ich darauf? Bzw. wie rechne ich mit diesen Klammern?

Edit: LaTeX

Answer 1

Das ist der Binomialkoeffizient.

\(\displaystyle\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\), wobei n! die Fakultät von n (bzw. k) darstellt. (Definition aus der Kombinatorik mit ganzzahligen Koeffizienten).

Wahrscheinlich tritt die Formel im Zusammenhang mit der hypergeometrischen Verteilung, oder?

Comments

Ja, genau. Vielen Dank für die schnelle Hilfe.

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In LaTeX mit \binom{n}{k} oder { n \choose k } darstellbar.

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Wie soll ich dass ausrechnen? Mein Taschenrechner kommt mit den großen Zahlen nicht klar. Wenn ich die Formel so eingebe bekomme ich nur 'Error'.

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Das ist gut möglich, dass diese Werte für den TR zu groß sind. Entweder mit der Näherungsformel von @Tschakabumba oder eventuell über eine andere Verteilung.

Answer 2

Aloha :)

Diese "Klammern" werden Binomialkoeffizient genannt. Die kannst du mit Hilfe der Fakultät berechnen:

$$\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$$

Oder mit dem Taschenrechner (Taste: "nCr")... aber die Werte können sehr groß werden.

Bei deiner konkreten Aufgabe ist:

$$\frac{\left(\begin{array}{c}150\\10\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}850\\90\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}1000\\100\end{array}\right)}=\frac{\frac{150!}{10!\cdot140!}\cdot\frac{850!}{90!\cdot760!}}{\frac{1000!}{100!\cdot900!}}=\frac{150!\cdot850!\cdot100!\cdot900!}{10!\cdot140!\cdot90!\cdot760!\cdot1000!}$$$$\approx0,0413496$$

Für die Fakultät gibt es eine sehr gute Näherungsformel von Stirling, die dir hier weiterhelfen kann:

$$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Answer 3

Du kannst das hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=((150+choose+10)*(850+choose+90))%2F(1000+choose+100)  ausrechnen lassen.

Es handelt sich z.B. um die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Ziehung von 100 Elementen aus einer Grundmenge von 1000 Elementen genau 10 die Eigenschaft haben, die 150 Elemente der Grundmenge haben.

Answer 4

Mein Taschenrechner kommt mit den großen Zahlen nicht klar. Wenn ich die Formel so eingebe bekomme ich nur 'Error'.

Von Hand kannst du Fakultäten ein Stück weit kürzen.

Schrittweise vorgehen. Hier z.B. mal mit 140! gekürzt:

$$ \dfrac{150!\cdot850!\cdot100!\cdot900!}{10!\cdot140!\cdot90!\cdot760!\cdot1000!}$$

= (150 * 149 * 148 * .... * 141 * 850! * 100! * 900! ) / (10! 90! 760! * 1000! )

Nun z.B. mit 90! kürzen. usw.

Ohne einen maschinellen Rechner wirst du das kaum von Hand tun müssen bei so grossen Zahlen. D.h. du solltest prüfen, ob du die Frage richtig verstanden hast und welche Näherung ihr eventuell verwenden könntet.