Gibt es Polynome P(x) mit P'(x) = P(x) bzw. P''(x) = −P(x)? Wie kann ich das untersuchen? und b)?

Question

Wer kann mir bitte hier helfen, denn ich keine Idee habe...

Aufgabe:

 Zwei Polynome sind genau dann als Funktionen identisch, wenn sie für jedes i in den jeweiligen Koeffizienten von xⁱ übereinstimmen.

(a) Nach Vorlesung gilt: Für f(x) := e^x und g(x) := cos(x) ist f'(x) = f(x) und g''(x) = −g(x). Untersuchen Sie, ob es auch Polynome P(x) gibt mit P'(x) = P(x) bzw. P''(x) = −P(x).

(b)  (i) Es sei a₀ := 1. Zeigen Sie, dass es eindeutig bestimmte reelle Zahlen a_i gibt, so dass mit f_n(x) = \( \sum\limits_{i=0}^{n} \) a_ixⁱ für alle n ∈ N gilt: f'n(x) = f_n−1(x). Sei f(x) :=\( \lim\limits_{n\to\infty} \) f_n(x). Was ergibt sich dann für f'(x)?

      (ii) Nun sei b₀ := 1 und b₁ := 0. Zeigen Sie, dass es eindeutig bestimmte reelle Zahlen b_i gibt, so dass mit g_n(x) = \( \sum\limits_{i=0}^{n} \) b_ixⁱ für alle n > 1 gilt: g''n(x) = −g_n−2(x). Sei g(x) := \( \lim\limits_{n\to\infty} \) g_n(x). Was ergibt sich dann für g''(x)?

Comments

Du hast doch sicher eine bessere Idee für eine Überschrift. Lies bitte mal https://www.mathelounge.de/schreibregeln und präzisiere die Überschrift.

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Schöne Aufgabe. Zu schön, um sie durch vorgesagte Lösungen zu verderben.

Tipp zu a)

Das gesuchte Polynom ist vom Grad 0.

Tipp zu b)

Versuche zunächst, eine quadratische Funktion

f₂(x)=a₂ x² + a₁ x + 1 zu finden, dessen Ableitung a₁ x + 1 ist.

Übertrage deine Erkenntnisse auf höhere Grade.