Höhere Mathematik 2 Modellierung

Question

In einen Behälter, der mit 100 Liter Salzlösung gefüllt ist und dabei 10 Kilogramm Salz enthält, beginnt
im Moment = 0 reines Wasser einzuströmen, während gleichzeitig über einen Abfluss Salzlösung
abfließt. Einstrom und Abfluss betragen jeweils 15 Liter pro Minute. Während dieses Prozesses wird
der Behälterinhalt permanent umgerührt, sodass die Salzlösung immer homogen bleibt.
Modellieren Sie die Situation durch eine Differentialgleichung inkl. Anfangsbedingung und berechnen
Sie, nach welcher Zeit noch genau 100 Gramm Salz (in gelöster Form) im Behälter vorhanden sind.

Answer 1

Hallo :-)

Du suchst eine Funktion $s:\space [0,\infty[\to \mathbb{R}$, welche die Salzmenge im Behälter zeitabhängig beschreibt.

Einstrom und Abfluss betragen jeweils 15 Liter pro Minute.

Also bleibt die Wassermenge $Q=100 l$ im Behälter zu jeder Zeit konstant. Es findet lediglich ein Austausch einer Wassermenge mit der Änderungsgeschwindigkeit $a=15\frac{l}{min}$ statt.

Nun mal ein Gedankenspiel:

1.) Je größer die Änderungsgeschwindigkeit $a$ (Zu -und Abfluss im Becken) ist, desto größer ist die Änderung $s'$ der Salzmenge $s$.

2.) Je größer die Wassermenge $Q$ im Behälter ist, desto geringer ist die Änderung $s'$ Salzmenge im Behälter.

Also erhält man daraus folgende DGL: $s'(t)=-\frac{a}{Q}\cdot s(t)$.

Zu Anfang befinden sich außerdem $10kg$ Salz (gelöst) im Wasser. Also hat man die Anfangsbedingung $s(0)=10kg$.

Jetzt musst du nur noch diese DGL lösen und die Zeit $t$ berechnen, bei dem $s(t)=0,1kg$ beträgt.