Binomial Reihe (Taylorreihendarstellung) : 1/(1+z) ...

Question

Aufgabe:

Es ist zu zeigen das für die Taylorreihendarstellung folgendes gilt:

$$\frac{1}{1+z} = \sum_{k=0}^\infty {{-1} \choose {k}}\cdot {z}^{k} $$

$$\sum_{k=0}^\infty {(-1)}^{k} \cdot {z}^{k}$$

Problem/Ansatz:

Das soll ja irgendwie hergeleitet werden, nur wie mache ich das ?

Answer 1

1/(1+z) lässt sich schreiben als 1/(1-(-z)), und das ist der Ausdruck für die geometrische Reihe 1+q+q²+q³+... mit q=(-z).

Somit ist 1/(1+z)=1-z+z²-z³+...

Comments

ahh ok und weil sich ja z im Vorzeichen ändert, ist das dann (-1)^k

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Aber wie komme ich dann darauf das der binomialkoeffizient verschwindet ?

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Schau dir die Definition dieses Binomialkoeffizienten (mit einer negativen Zahl oben) an.

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Verallgemeinerung

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Unter dem Link für die Binomial Reihe mit einer negativen Zahl steht da ja für den Binomialkoeffizienten

$${{-1} \choose {k}} = \frac{(-1) \cdot (-2) . . . {(-k)}}{k!}$$

Wie wird denn hier aus:

$$\frac{(-1) \cdot (-2) \cdot (-k)}{k!} = {(-1)}^{k}$$

Wie kommt man darauf ?

Da muss sich ja etwas wegkürzen oder?

Und wenn ja wie und wie kommt der Exponent k bei der -1 zustande davor war die Zahlen im Zähler alle negativ ?

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Da muss sich ja etwas wegkürzen oder?

Klug beobachtet.

Du weißt aber schon, wie man den Nenner k! ausführlich schreiben kann?

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Dann müssten sich alle Faktoren die kleiner sind und auch k selbst wegkürzen:

Nenner:

$$1 \cdot 2 \cdot ...\cdot k$$

Dann hätte ich sowas:

$$\frac{(-1) \cdot (-2) \cdot ... \cdot (-k)}{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k}$$

Die Zahlenwerte kürzen sich raus und was übrig bleibt sind dann nur noch die negative 1 Faktoren mit sich selbst multipliziert.

Also $$(-1) \cdot (-1) \cdot ... \cdot (-1)$$ und das ist dann $$(-1)^k$$

Habe ich das so richtig verstanden ?