Grenzwerte von Brüchen usw. im Komplexen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie (falls möglich) die folgenden Grenzwerte:

a) $$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{x + sin(2 \cdot x)}{x - sin(2 \cdot x)}$$

b) $$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{-\exp{(\dfrac{\pi j}{n})}}$$

c) $$\lim\limits_{x\to1} ({x}^{\frac{1}{x-1}})$$

Problem/Ansatz:

Bei a) müsste es mittels L'Hospital gehen:

Oben und unten ableiten und dann den Grenzwert einsetzen.

Dann komme ich auf -3 für a)

Wie geht man bei der b und c vor ?

Answer 1

Aufgabe a) -3 ist richtig ( L'Hospital)

Aufgabe c)

....................................

Comments

Ab wann darf ich denn das Limes in den Exponenten ziehen ?

---

das kannst Du aufgrund der Stetigkeit der e-Funktion machen.

---

zu c)

Die Substitution x=1+h ändert die Aufgabe in \( \lim\limits_{h\to0}(1+\frac{1}{h})^h\) und umgeht das von euch diskutierte Problem.

---

Die Aufgabe soll schon mit bekannten Grenzwertsätzen und L'Hospital gelöst werden.

Mit dem Differential in Form von irgendeiner Substitution soll die Aufgabe nicht gelöst werden.

---

Die Aufgabe soll schon mit bekannten Grenzwertsätzen und L'Hospital gelöst werden. 

Das hast du vorher so nicht formuliert.

\( \lim\limits_{x\to0} \frac{sin(x)}{x}=1\) ist übrigens ein bekannter Grenzwertsatz.

\( \lim\limits_{h\to0}(1+ \frac{1}{h})^h=1\) übrigens auch.

---

Weil die Aufgabe es auch nicht explizit aussagt.

Hier wird davon ausgegangen das mit den Grenzwertsätzen gerechnet wird.

Auf jeden Fall ist a und c ja jetz nicht das Problem.

Wie geht es bei der b zu ?

---

Weiß ich nicht, die solltest du erst mal fehlerfrei aufschreiben.

x geht gehen unendlich, kommt aber im Term gar nicht vor.

---

Ohh ja da hast du natürlich Recht.

Es sollte für $$n\to\infty$$ heissen

Also:

$$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{-\exp{(\frac{\pi j}{n})}}$$

---

Alle komplexen Zahlen der Form exp(φ*j) haben den Betrag 1 und das Argument φ.

Hier gilt  φ=π/n, und für n gegen unendlich geht φ gegen Null und somit

exp(φ*j)= exp(π*j/n) gegen 1.

-exp(φ*j) geht dann gegen -1.

Die Wurzel davon ist nicht eindeutig, denn im Komplexen hat -1 die beiden Wurzeln i und -i.

---

Da soll wohl wohl mit der Definition der komplexen Wurzel gerechnet werden.

Das Ergebnis soll hier sein:

$$\sqrt{-\exp{(\frac{\pi j}{n})}}$$

(Diesen Abschnitt verstehe ich nicht)

$$\sqrt{{-e}^{+\frac{\pi j}{n}}} = \sqrt{{e}^{j(\frac{\pi}{n} - \pi)}} = {e}^{j \frac{\arg{{e}^{j (\frac{\pi}{n} - \pi)}}}{2}}$$

Ansatz: Das Minus vor der e Funktion kann doch als pi oder -pi interpretiert werden oder?

(Ab hier der Teil ist klar)

$$ = {e}^{j(\frac{\pi}{n} - \pi)\frac{1}{2}} \to {e}^{-j \frac{\pi}{2}} = -j$$

Answer 2

Bei a) müsste es mittels L'Hospital gehen:

Unnötig (wenn dir \( \lim\limits_{x\to0} \frac{sin(x)}{x}=1\) geläufig ist).