Gram-Schmidt im komplexen Zahlenraum?

Question

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf S an und finden Sie eine Orthonormalbasis für ℂ³ .

S = {\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\i \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} i\\1\\2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)}.

So, an sich weiß ich wie das Gram-Schmidt Verfahren funktioniert und kann es auch anwenden.

Aber wie mache ich das für den komplexen Zahlenraum? Was muss da beim Skalarprodukt beachtet werden?

Ich weiß dass i = i und i² = -1.

Danke schonmal!

Answer 1

Du musst das hermitesche Skalarprodukt benutzen:

\(<x,y>=\sum_{i=1}^nx_i\bar{y}_i\).

Comments

Kannst du bitte ein Beispiel geben?

Zum Beispiel bei \( \begin{pmatrix} i\\1\\2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{-1}{\sqrt{3}}\\\frac{i}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \)

Wie würde ich auf die beiden Vektoren das Skalarprodukt anwenden?

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Ich würde die Vektoren nicht jedesmal normieren,

sondern stattdessen mit Gram-Schmidt zunächst eine

Orthogonalbasis aus den vorgegebenen Vektoren basteln und dann

zum Schluss die drei Vektoren normieren, so dass

dann eine Orthonormal-Basis entsteht:

sei \(x=(i,1,2)^T, y=(1,-1,i)^T\), dann ist

\(<y,x>=i-1\). Nun rechnet man $$y'=y-\frac{<y,x>}{<x,x>}x=\frac{1}{6}(7+i,-5-i,2+4i)^T.$$

x,y' spannen dann denselben Unterraum wie x,y auf, aber nun

ist \(<x,y'>=0\) ...

Answer 2

hm,

zum rechnen siehe

https://www.geogebra.org/m/qcq2zsfv

vektoren zeilenweise angeben

sieht wüst aus (irgend ein tippfehler im spiel?)

spalten vektoren

\(\small \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{3}}&\left(1 + 4 \; i \right) \; \frac{\sqrt{3}}{12}&\frac{\sqrt{5}}{4}\\\frac{-1}{\sqrt{3}}&\left(2 - i \right) \; \frac{\sqrt{3}}{12}&\left(24 + 12 \; i \right) \; \frac{\sqrt{5}}{80}\\\frac{i}{\sqrt{3}}&\left(30 + 6 \; i \right) \; \frac{\sqrt{3}}{72}&\left(-6 + 2 \; i \right) \; \frac{\sqrt{5}}{40}\\\end{array}\right)\)

Comments

Also wird einfach das Vorzeichen bei dem komplexen gedreht?!

Weiß nicht woher die Matrix plötzlich herkommt?

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z= a + i b

z*= a - i b

das skalarproduk statt z^2 mit z z*

in der app zeile 2

cdot(z)

welche matrix?

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In der app zeile 2 cdot(z)

Was?!?

Also ich hab es mir jetzt ein sehr hilfreiches Video angeschaut da hat er hat nicht lange drumherum geredet sondern ist straight to the point gekommen:

Beispiel:

\( \begin{pmatrix} 2\\i\\1-i \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\i\\-1 \end{pmatrix} \)

Skalarprodukt: 2·i + (-i)·i + (1+i)·(-1) = 2+i-1-i = 2-i.

Aber wieso einfach wenns auch kompliziert geht :D