Situation:
In einem Buch ist eine Standardbasis des \(K^{mxn}\) wie folgt definiert:$$\begin{array}{l}{\text { Für einen Körper } \mathbb{K} \text { und Zahlen } r \in\{1, \ldots, m\} \text { und } s \in} \\ {\{1, \ldots, n\} \text { definieren wir die } m n \text { sogenannten Standard- }} \\ {\text { Einheitsmatrizen aus } \mathbb{K}^{m \times n},} \\ {\qquad \mathbf{E}_{r s}=\left(a_{i j}\right) \text { mit } a_{r s}=1 \quad \text { und } \quad a_{i j}=0 \text { sonst. }}\end{array}$$
Dann ist die Menge: $$B=\left\{\mathbf{E}_{r s} | r \in\{1, \ldots, m\}, s \in\{1, \ldots, n\}\right\}$$ $$\begin{array}{l}{\text { eine Basis des } \mathbb{K}^{m \times n}, \text { da für eine beliebige Matrix } A=} \\ {\left(a_{i j}\right)_{i, j} \in \mathbb{K}^{m \times n} \text { gilt }}\end{array}$$
Problem/Ansatz:
Ich wollte nun so eine Basis aufschreiben also sagen wir etwa drei Matrizen.
Beim Kn sehe ich keine Probleme, denn da ist der einheitsvektor en so definiert, dass
an der n-ten Stelle eine Eins steht und sonst Null,
Aber bei obiger Definition verstehe ich nicht wie zum Beispiel eine Basismatrix definiert ist.
Ers die Einträge gehen für r von 1-m und für s von 1-n
Frage:
Und wie kann ich jetzt herausfinden wie so eine Matrix aufgeschreiben werden soll,
sagen wir, ich möchte E11, E13 aufschreiben, ich weiss dass dann, dass im ersten Fall, also in der Matrix E11, der Eintrag a11=1 ist und die restlichen Einträge Null.
Für die Matrix E13 ist der Eintrag a13 = 1 und der rest Null. Oder wie ?
Könnte mir jemand helfen diese zwei Matrizen aufzuschreiben ?
