x/(x-1) ist nicht Surjektiv, wie beweisen und anschließend Surjektiv machen?

Question

Aufgabe:

x/(x-1)

Problem/Ansatz:

Hi, also ich weiß, dass die o.g. Funktion nicht Surjektiv ist wenn ich z.B. 1 einsetzte (f(1)), da es sich anschließend um eine Nulldivision handelt. Ist denn das Argument "Nulldivision" genug, um zu beweisen, das die Funktion bei 1 nicht Surjektiv ist? Wenn ich nun anschließend noch den Wertebereich eingrenzen möchte, wie gehe ich da am besten vor? (Vorlesung verpasst). Und wenn ich die Funktion anschließend ausrechnen möchte, gab es im Buch dazu folgende Musterlösung:

(E = enthalten in)

In Klammern = Ist der Nenner.

Sei b ∈ A. ein Element der Zielmenge von f. Es existiert ein a ∈ A. mit f ( a ) = b, sofern

a/(a-1) = b

Durch Umformung ergibt sich " a = ab -b " und weiter: "a = b/(b-1)"

Bin ein bisschen raus beim Funktionsrechnen und kann diesen Schritt nicht ganz nachvollziehen, währe jemand so Nett mir das nochmal in einzelnen Schritten zu erklären?

MfG.

Answer 1

y = x/(x - 1) --> x = y/(y - 1)

y = 1 kann nicht angenommen werden, da es kein x gibt sodass für y = 1 heraus kommt. Die Zuordnung ist nur nicht surjektiv, wenn die 1 mit in die Zielmenge gehört.

Um die Funktion surjektiv zu machen müsste man nur die 1 aus der Zielmenge herausnehmen.

Comments

Hey danke für die Antwort, kannst du mir die Schritte erklären die du gemacht hast um auf x = y/(y-1) zu kommen? Ich hocke hier jetzt die ganze Zeit und versuche das zweite x loszuwerden aber ich packe es. :D

Ich habe folgendes Versucht:

x/(x-1) = y | *(x-1)

x = yx-1 | :y

x/y = x-1

Aber das ist irreführend und definitiv falsch.

Wenn ich anschließend noch den Wertebereich eingrenzen möchte, was wäre ein mögliche Richtige Notation dafür? Muss ich dann nur sagen (-∞,-1] (1,+∞) ?

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Das sieht wie folgt aus:

y = x/(x - 1)
y * (x - 1) = x
x * y - y = x
x * y - x = y
x * (y - 1) = y
x = y / (y - 1)

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Muss ich dann nur sagen (-∞,-1] (1,+∞) ?

Das ist so verkehrt schau dir mal Deine Werte genau an. Außerdem müsstest du noch die Vereinigung bilden.

Ich hätte es wie folgt geschrieben:

f: R\{1} → R\{1} , x --> x / (x - 1)

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Ok ich hätte jetzt eine Frage die ein bisschen vom Thema abdriftet, aber ich hoffe du kannst Sie mir trotzdem gut beantworten:

Wenn ich den Wertebereich z.B. bei x² eingrenzen möchte, könnte ich f: R->R+ (R+ steht für alle Positiven reellen Zahlen nehmen)

Wenn ich z.B. bei 4x / (x²+1) den Bereich eingrenzen möchte, gibt es ja 3 Bereiche in denen die Funktion Bijektiv ist:

1) von -unendlich bis -2

2) von -2 bis 2

3) von 2 bis +unendlich

Ich sehe oft das Schreibweisen wie (-∞,-1) verwendet werden (" [ " bedeutet dann doch das der Wert enthalten ist und " ( " bedeutet dann doch das der Wert nicht enthalten ist (also das man mit dem nächst größeren Wert weiter macht oder?))

und schließlich wenn ich eine einzige Zahl bzw. eine Zahlenmenge ausgrenzen möchte, kann ich dann wohl f:R\{1} -> R\{1} verwenden? Und wofür steht das x → x/(x-1) ?

Ich weiß ist viel gefragt aber ich hab einfach zu viele Lücken drin...

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Ich sehe oft das Schreibweisen wie (-∞,-1) verwendet werden (" [ " bedeutet dann doch das der Wert enthalten ist und " ( " bedeutet dann doch das der Wert nicht enthalten ist (also das man mit dem nächst größeren Wert weiter macht oder?))

Genau das ist die sogenannte Intervall-Schreibweise.

und schließlich wenn ich eine einzige Zahl bzw. eine Zahlenmenge ausgrenzen möchte, kann ich dann wohl f:R\{1} -> R\{1} verwenden? Und wofür steht das x → x/(x-1) ?

Du hast eigentlich 4 Angaben bei einer Funktion

1. Der Funktionsname also z.B. f

2. Die Definitionsmenge also z.B. D

3. Die Zielmenge z.B. Z

4. Die Zuordnungsvorschrift

Die Quadratische Funktion kann man damit schreiben

f: R → R⁰⁺, x → x^2

Funktionsname f
Definitionsmenge R
Zielmenge R⁰⁺
Zuordnungsvorschrift x → x^2

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Zuordnungsvorschrift x → x2

Also kann ich damit quasi sagen das mein x² wie ein x behandelt werden soll? Denn wenn ich ja meinen Wertebereich auf alle Positiven reellen Zahlen eingrenze und von x² die Wurzel ziehe bleibt ja nur noch der positive Bereich für ein Ergebnis.

Ich muss dir meinen herzlichsten Dank aussprechen du hast mir hiermit super geholfen!

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Also kann ich damit quasi sagen das mein x² wie ein x behandelt werden soll? Denn wenn ich ja meinen Wertebereich auf alle Positiven reellen Zahlen eingrenze und von x² die Wurzel ziehe bleibt ja nur noch der positive Bereich für ein Ergebnis.

Schau dir nochmals das Thema Funktionen an und wie diese Definiert sein können. So wie das da oben steht ist das etwas wirr. natürlich kann man x^2 nicht wie x behandeln.

x ist eine Stelle und x^2 ist der Funktionswert an der Stelle x. Das sind zwei ganz verschiedene Dinge.

Da machen schon die Schüler in der 8 Klasse große schwierigkeiten wenn sie x und y bzw. x und f(x) einfach durcheinanderbekommen.

f: x → x^2 kann man auch schreiben als f(x) = x^2

Answer 2

Hallo

Lass dir die Funktion mal plotten, dann siehst du,dass du Den Wert y=1 nie erreichen kannst,deshalb nicht Injektion. Es reicht auch zu zeigen, dass es mindestens einen Wert in R gibt, den du nicht erreichen kannst .

Das durchNullDividieren sagt nur,dass die Funktion bei x=1 nicht stetig ist.

Gruß lul

Comments

Also wenn ich in der Klausur (wir müssen als erste Aufgabe sowieso immer Zeichnen) den Graphen Zeichne und dann bei Injektiv sage "Wie wir sehen können wird die Funktion ... den Wert (1,1) (so richtig?) niemals erreichen ..." in Ordnung sein? Kann den Prof da nicht einschätzen aber ich denke schon das er gerne etwas Handfestes haben würde warum es nicht geht.. plotten ist dann doch von einem Programm den Graphen zeichnen lassen oder? (Benutze sowieso GeoGebra und einen guten Taschenrechner)