Hölderstetigkeit-Beweis: (D beschränkt ∧ f α-Hölder-stetig) ⇒ f ist β-Hölder-stetig für jedes β ∈ (0, α]

Question

(D beschränkt ∧ f α-Hölder-stetig)  ⇒ f ist β-Hölder-stetig für jedes β ∈ (0, α]

Sei D ⊂ C, f : D → C eine Funktion und α∈(0,1].

Ich finde hier keinen keinen roten Faden. Ich verstehe nicht, wie man den Fakt nutzen soll, dass D beschränkt ist.

Answer 1

Ist D beschränkt, so existiert ein d > 1, so dass für alle $$x, y \in D: |x - y| \leq d$$

Ist f α-Hölder-stetig, so gilt für alle x, y: $$|f(x) - f(y)| \leq c|x - y|^{\alpha} = c |x - y|^{\beta} \cdot |x - y|^{\alpha - \beta} \leq c \cdot |x - y| \cdot |x - y|^{\beta} \leq c \cdot d |x - y|^{\beta}$$

Das gilt, da α-β > 0 ist. d ist größer 1 gewählt, da im Fall |x - y| < 1 gilt: $$|x - y| < |x - y|^{\alpha - \beta} < 1$$

Somit gilt obrige Ungleichung o.B.d.A.

Comments

Cleveres Abschätzen und Nutzen der Beschränktheit von \(D\). LG