Hölder-stetig Beweis anwenden

Question

Aufgabe:

h : [0,1] → ℝ β-Hölder-stetig mit β ∈ (0,1] und α ∈ (0,1] und α ≤ β.

Ich muss zeigen, dass h auch α-Hölder-stetig ist. Zusätzlich wurde mit der Tipp gegeben: x^β ≤ 2^β/α x^α für x∈[0,2].

Nur das verwirrt mich, warum soll x genau in diesem Intervall sein? Und bei der Abschätzung kann ich mit der 2 in der Basis nichts anfangen, warum 2? Wo und wie kann ich diese im Beweis erzeugen?

Bis jetzt habe ich:

Weil h β-Hölzer stetig gilt für alle x,y∈[0,1]

|h(x)-h(y)| ≤c|x-y|^β =c|x-y|^α |x-y|^β-α  ab hier weiß ich nicht, wie ich den Tipp anwenden kann.

Kann mir bitte jemand helfen?

Answer 1

Du bist fast frertig. Nur die Dreiecksungleichung anwenden und x,y nach oben abschätzen:

$$|h(x)-h(y)| ≤c|x-y|^{\beta} =c|x-y|^{\alpha} |x-y|^{\beta-\alpha}$$

$$\stackrel{\beta - \alpha \geq 0}{\leq }c|x-y|^{\alpha} (|x|+|y|)^{\beta-\alpha} \leq c2^{\beta-\alpha}|x-y|^{\alpha}$$