Hölder-Bedingung Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Hallo alle zusammen. Ich soll folgende Aussage zeigen: Erfüllt \( f: \mathbb{K} \supset D \rightarrow \mathbb{K} \) eine Hölder-Bedingung, so ist \( f \) stetig auf \( D \).

Problem/Ansatz:

Ich habe allerdings keine Ahnung wie ich vorgehen soll (aus der Definition an sich werde ich nicht schlau)

Comments

Wie ist denn "Hölder-Bedingung" definiert?

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Es sei U ⊂ R offen und 0 < a ≤ 1. Eine Abbildung f: U → R heißt hölderstetig zum Exponenten α genau dann, wenn eine positive reelle Zahl C existier, sodass für alle x, y ∈ U gilt:

|f(x) - f(y)| ≤ C|x-y|^α

Aber wie wende ich das jetzt konkret auf die gegebene Aufgabenstellung an?

Answer 1

Mit Hilfe der Ungleichung zeigst du, dass für beliebiges \(x\in D\) und für jede beliebige Folge \((x_n) \in D \) mit \(\lim_{n\to\infty}x_n =x\) gilt, dass \(\lim_{n\to\infty}f(x_n) =f(x)\) ist.

\(|f(x_n) - f(x)| \leq C|x-x_n|^{\alpha} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\).

Fertig.