Quadratische Ungleichung lösen: 4x^2 -8x größer gleich 0

Question

Halllo zusammen,

ich soll die folgende Ungleichung lösen und bräuchte Hilfe:

$$ 4x^{2} - 8 x  \geq 0 $$

Wir haben gelernt quadratische Ungleichungen mit der quadratischen Ergänzung zu lösen. Funktioniert das hier auch ? Oder welchen Weg gibt es noch?

Vielen Dank vorab!

Lösung:

] ∞− ]0; ∪ ;2[ +∞[

Answer 1

4 x^2 − 8x  ist eine nach oben geöffnete Parabel

4 x^2 − 8x ≥ 0 | :4
x^2 - 2x ≥ 0 | + 1^2
x^2 - 2x + 1^2 ≥ 1
( x - 1 ) ^2 ≥ 1

Nullstellen
( x - 1 ) ^2 = 1  | Wurzel ()
x - 1 = ± 1

x = 2
x = 0

Zwischen 0 und 2 liegt die Parabel unterhalb.
Punktprobe für x = 1
4 x^2 − 8x
4 *1^2 − 8 * 1 = -4
Stmmit nicht mit der Ausgangsungleichung überein

Oberhalb
]-∞ .. 0 ] und [2 .. +∞[

Answer 2

Hier geht es auch so:

4x^2 - 8x ≥  0

<=>  4x * ( x-2)  ≥  0

<=>  ( 4x  ≥  0  und    x-2  ≥  0 )  oder  ( 4x  ≤  0  und    x-2 ≤  0 )

<=>  ( 4x  ≥  0  und    x  ≥  2  )  oder  ( 4x  ≤  0  und    x  ≤ 2 )

<=>  (    x  ≥  2  )  oder  ( x  ≤  0 ).

Oder so:  Der Graph zu 4x^2 - 8x ist eine

nach oben geöffnete Parabel mit den

Nullstellen 0 und 2.

Also ist sind die Funktionswerte  ≥  0 wenn das

x =0 oder links davon ist  und wenn x=2 oder rechts davon ist.