Beweis einer Ungleichung: Z.z.: ∀x∈ℝ, x>0 ∃n∈ℕ: 0 < 1/n < x

Question

hier komme ich nicht voran:

Z.z.: ∀x∈ℝ,x>0∃n∈ℕ: 0<1/n<x

Aufgrund des Archimedes Axioms gilt auf jedenfall 1/n ≤ x, aber wie kann man nun auf 1/n < x schließen?

Ansatz:

$$ für~x≥1:~ \frac { 1}{ n }<\frac { 1 }{ (n+x)^n }\leq\frac { 1 }{ 1+nx }<\frac { n\cdot x^2 }{ nx }= x $$

Für 0<x<1 klappt es nicht. Aso, Bernoullische Ungleichung↑ verwendet

Ich habe auch einen Widerspruchsbeweis probiert:

Annahme: ∃x∈ℝ,x>0∀n∈ℕ: 0<x≤1/n

Das würde bereits dem Archimedes Axiom widersprechen und wäre somit ein Widerspruch.

Hat jemand einen Tipp für mich, wie kann ich sinnvoll modifizieren? Will hier niemanden zutexten, aber auch die Intervallschachtelung kommt in Frage, die habe ich aber noch nicht gut genug verstanden.

Comments

Wenn 1/m ≤ x für ein m ∈ ℕ gilt, wähle n = m + 1.

Answer 1

wie wäre es mit :  nach Archimedes gibt es für jedes y aus IR^>0 ein n mit

0 < 1/n  ≤ y    also auch für y = x/2  ; denn mit x ist auch x/2 > 0


und für x>0 ist x/2  < x   , also

0 < 1/n  ≤ x/2  < x .    Bingo!