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Hallo.

Leider hab ich grad voll den Blackout und mir fehlt der komplette Ansatz für folgende Aufgabe:

f(x) = (3x+2)/(2x+1)

Aufgabe: Berechnen sie eine möglichst kleine, positive, reelle Zahl r so, dass die Funktionswerte für x > r in der 0,001 - Umgebung des Grenzwerts lim f(x) [x gegen + unendlich] liegen!

Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
 
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Nun, du sollt also eine möglichst kleine positive reelle Zahl r bestimmen so dass gilt:

$$ \left| \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ f(x)-f(r) }  \right| <0,001$$

Mit \(\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ f(x)= } \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 3x+2 }{ 2x+1 }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 3+\frac { 2 }{ x }  }{ 2+\frac { 1 }{ x }  }  } =\frac { 3 }{ 2 }\) :

$$\Leftrightarrow \left| \frac { 3 }{ 2 } -f(r) \right| <0,001$$
$$\Leftrightarrow \left| \frac { 3 }{ 2 } -\frac { 3r+2 }{ 2r+1 }  \right| <0,001$$
$$\Leftrightarrow -0,001<\frac { 3 }{ 2 } -\frac { 3r+2 }{ 2r+1 } <0,001$$
$$\Leftrightarrow -0,001<\frac { 6r+3-(6r+4) }{ 4r+2 } <0,001$$
$$\Leftrightarrow -0,001<\frac { -1 }{ 4r+2 } <0,001$$
$$\Leftrightarrow -1<\frac { -1000 }{ 4r+2 } <1$$
mit r > 0
$$\Leftrightarrow -4r-2<-1000<4r+2$$
$$\Leftrightarrow -4r<-998<4r+4$$
$$\Leftrightarrow r>249,5>-r-1$$
$$\Leftrightarrow r>249,5\wedge r>-249,5-1=-250,5$$
$$\Leftrightarrow r>249,5$$
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