Zeigen, dass die Funktion f(x)=x^2 nicht gleichmäßig stetig ist?

Question

Aufgabe:

ich möchte zeigen, dass die Funktion f(x)=x² nicht gleichmäßig stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe noch nicht so viel Erfahrung damit gesammelt solche Aufgaben zu lösen und wollte mich an einer leichten erstmal versuchen. Ich habe folgendes erarbeitet:

Für die gleichmäßige Stetigkeit muss gelten

|x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε

|x²-y²|<ε

|(x-y)(x+y)|<ε

|δ(x-y)|<ε, sei ε=|δ(x-y)|

⇒δ<\( \frac{ε}{x+y} \)

⇒δ<\( \frac{δ(x-y)}{x+y} \)

⇒δ<δ was ein Widerspruch ist, also ist x² nicht gleichmäßig stetig.

Mein Frage jetzt: ist mein Beweis richtig? Und wenn nicht, was habe ich falsch gemacht?

Comments

in der letzten Zeile kürzst du \(x-y\) mit \(x+y\)...

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Hier stand ein Fehler

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Stimmt Danke, war ich wohl zu unaufmerksam. :/

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Etwaige Umformungsfehler sind marginal.
Entscheidend ist doch, dass du  |f(x)-f(y)| ≥ ε  nachweisen musst.

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Genau, die Aussage negieren ist ein guter Anfang.

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Nein, das ist sicherlich kein guter Anfang.

Der Anfang muss zunächst einmal darin bestehen, sauber aufzuschreiben,  wie gleichmäßige Stetigkeit überhaupt definiert ist, und zwar mit allen erforderlichen Quantoren. Daran mangelt es nämlich meistens, so auch hier.
Danach kann diese Bedingung negiert werden (deMorgan beachten), um zu erkennen, was denn überhaupt zu zeigen ist (es wird sich herausstellen, dass hier die Existenz eines gewissen positiven ε nachzuweisen ist); meine Ungleichung oben ist nur ein ganz kleiner Teil dessen.

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Selbstredend.

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Siehe dazu auch hier: https://www.mathelounge.de/533780/zeigen-dass-f-x-x-2-nicht-auf-ganz-r-gleichmassige-stetig-ist.

Answer 1

$$\forall \epsilon, \delta: x_0 := \frac{\epsilon}{\delta} \Rightarrow |x_0 + \frac{\delta}{2} - x_0| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow |f(x_0 + \frac{\delta}{2}) - f(x_0)| = 2x_0\frac{\delta}{2} + \delta^2 = \frac{2\epsilon\delta}{2\delta} + \frac{\delta^2}{4} > \epsilon$$