Zeigen, dass f nicht gleichmäßig stetig ist

Question

Aufgabe:

Man soll zeigen, dass f: R_+ → R, f(x)=x^2 nicht gleichmäßig stetig ist.

Problem/Ansatz:

Um zu zeigen dass f

nicht gleichmäßig stetig ist, zeigen wir, dass es zu \( \varepsilon=1 \) kein \( \delta>0 \) gibt, so dass
(1) \( |f(x)-f(y)|<1 \quad \) für alle \( x, y \in \mathbb{R}_{+} \) mit \( |x-y|<\delta \)
Sei z.B. \( x:=\frac{1}{\delta}, y:=x+\frac{\delta}{2} . \) Dann ist

|f(x)-f(y)|=y^2-x^2=1+\(\frac{\delta^{2}}{4} \geqslant 1\)

aber \( |x-y|<\delta . \) Also ist die Bedingung (1) für kein \( \delta>0 \) erfüllbar.

Ich verstehe nicht wie man auf

|f(x)-f(y)|=y^2-x^2=1+\(\frac{\delta^{2}}{4} \geqslant 1\) kommt, ich kann die rechnung nicht nachvollziehen.(aus den musterlösungen)

Answer 1

Ich verstehe nicht wie man auf

|f(x)-f(y)|=y^2-x^2=1+\(\frac{\delta^{2}}{4} \geqslant 1\) kommt.

Damit soll gezeigt werden, dass es eben nicht für

jedes ε>0 ein δ gibt mit |x-y|<δ ==> |f(x)-f(y)| < ε.

In der Zeile vorher steht ja:
\( x:=\frac{1}{\delta}, y:=x+\frac{\delta}{2} \)

Für diese beiden Zahlen gilt jedenfalls

|x-y| = |x-(x+\( \frac{\delta}{2}  \) ) |= | - \( \frac{\delta}{2}  \)| =\( \frac{\delta}{2}  \)

Und das ist ja sicher immer kleiner als δ.

Aber |f(x)-f(y)| < ε  ist für z.B. für ε=1 nicht erfüllt; denn

|f(x)-f(y)|   (Da es ja um die Quadratfunktion geht.)

= | x^2 - y^2 |

= |y^2 - x^2 |    (Jetzt erst mal y einsetzen)

=| (x+\( \frac{\delta}{2}  \) ) ^2  - x^2  |

=| x^2 + 2x \( \frac{\delta}{2} + \frac{\delta^2}{4} \) - x^2 |

=|  2*x *\( \frac{\delta}{2}  + \frac{\delta^2}{4} \)  |  ( Jetzt auch x einsetzen)

=| 2* \(  \frac{1}{\delta}*\frac{\delta}{2}  + \frac{\delta^2}{4} \)  |

=| 2* \(  \frac{1}{2}+ \frac{\delta^2}{4} \)  | =| 1+ \frac{\delta^2}{4} \)  |

Und für ε=1 ist also dann   |f(x)-f(y)| < ε nicht erfüllt,

also die Quadratfunktion nicht gleichmäßig stetig.