Ansatzfunktion u(x,y) = v(x,y) * e^(ax+by) in partielle Differentialgleichung einsetzen. a und b bestimmen.

Question

Hallo Ich bräuchte Hilfe bei folgendem

Aufgabe:

Vereinfachen Sie die partielle Differentialgleichung 

$\frac{δ^2u}{δx^2}$ -$\frac{δ^2u}{δy^2}$ + 3 $\frac{δu}{δx}$ - $\frac{δu}{δy}$ +5 u = 0

indem Sie die Ansatzfunktion

u(x,y) = v(x,y) * e^ax+by einsetzen und die freien Parameter a,b ∈ ℝ so bestimmen, dass diejenigen Terme herausfallen, die erste Ableitungen von v(x,y) enthalten. Wie lautet die resultierende PDG für v(x,y) ?

Problem/Ansatz:

Die Ansatzfunktion habe 2mal partiell Abgeleitet mit hilfe der Produktregel: 

$\frac{δu}{δx}$  =  $\frac{δv}{δx}$  * e ^ax+by+ v(x,y) * a * e ^ax+by

$\frac{δu}{δy}$  = $\frac{δv}{δy}$  * e ^ax+by + v(x,y) * b * e ^ax+by

$\frac{δ^2u}{δx^2}$  = $\frac{δ^2v}{δx^2}$ * e ^ax+by + $\frac{δv}{δx}$ *a * e ^ax+by + $\frac{δv}{δx}$ * e ^ax+by + v(x,y)*a² * e ^ax+by

$\frac{δ^2u}{δy^2}$ = $\frac{δ^2v}{δy^2}$ * e ^ax+by + $\frac{δv}{δy}$ *b * e ^ax+by + $\frac{δv}{δy}$ * e ^ax+by + v(x,y)*b² * e ^ax+by

Dies ergibt dann in die Gleichung eingesetzt : 

e ^ax+by ($\frac{δ^2v}{δx^2}$-$\frac{δ^2v}{δy^2}$ + a*  $\frac{δv}{δx}$  + 4*  $\frac{δv}{δx}$  - b*    $\frac{δv}{δy}$ -2* $\frac{δv}{δy}$  + a² v(x,y) - b² v(x,y) + 3a v(x,y) - b v(x,y) + 5 v(x,y)) = 0

Allerding weiß ich nicht wie es jetzt weiter gehen soll.
a und b so bestimmen dass die Terme mit $\frac{δv}{δx}$ und $\frac{δv}{δy}$ wegfallen ? Wie soll das denn gehen könnte jemand helfen ?

Answer 1

Allerding weiß ich nicht wie es jetzt weiter gehen soll.

Die riesige Klammer muss insgesamt 0 sein, da e^(etwas) nie 0 ist.

Da musst du etwas sortieren und kannst wahrscheinlich dann 2 Gleichungen = 0 entnehmen, so dass die ersten Ableitungen wegfallen (sich ausklammern lassen), aus denen sich a und b dann berechnen lassen.

Ich würde jetzt mal versuchen mit a+4 = 0 und -b - 2 = 0, d.h. a = -4 und b = -2.

Dann bleibt ja immer noch eine PDG für v(x,y) , weil der Rest der Klammer auch 0 geben muss. Die nun bestimmten a und b kannst du dort dann einsetzen und den Rest etwas vereinfachen.

Comments

oh mein gott was für ein facepalm moment...
Ich habe die ganze Zeit versucht die große Klammer irgendwie umzuschreiben oder auch nochmal nach a und b faktorisiert und kam die ganze zeit nicht weiter -.-.

VIELEN DANK DAFÜR !!!! Manchmal sieht man echt den Wald vor lauter Bäumen nicht.

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Bitte. Gern geschehen. Ich musste die Fragestellung auch erst mal genau lesen.