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ich befinde mich in der Klausurvorbereitung in der Funktionentheorie und habe ein Problem bei folgender Aufgabe


Sei h holomorph in \(U_1(0)\) mit \(|h(z)| ≤ \frac{1}{1-|z|} \forall z \in U_1\). Zeige, dass

\( |h^{(n)}(0)|≤(n+1)!(1+\frac{1}{n})^n \)

Vielen Dank.

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Hallo

 ist f=h? warum verschiedene Buchstaben?

lul

ja entschuldige,

f=h

EDIT: Habe das nun oben berichtigt.

1 Antwort

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Die Funktion ist holomorph auf \( U_1(0) \) in dieser Menge liegen die kompakten Mengen \( \overline{U_r(0)} \) für \( r < 1 \), also gerade die abgeschlossenen Kreisscheiben mit Radius r.

Wir wählen r jetzt einfach mal beliebig, dann erhalten wir mit der erweiterten Cauchyschen-Integralformel für die Kurve

$$ \gamma : [0,2\pi] \to \mathbb{C}, t \mapsto r\cdot e^{it} $$

die Form

$$ |f^{(n)}(0) | = \left|\frac{n!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{(z-0)^{n+1}} dz \right| =\frac{n!}{2\pi}\left| \int_\gamma \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz \right| $$

Dann wendet man die Standardabschätzung für Kurvenintegrale an:

$$ \frac{n!}{2\pi}\left| \int_\gamma \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz \right| \le \frac{n!}{2\pi} l(\gamma) \max_{z \in \textrm{Bild }\gamma} \left| \frac{f(z)}{z^{n+1}}\right| \le \frac{n!}{2\pi} l(\gamma) \max_{z \in \textrm{Bild }\gamma} \left| \frac{\frac{1}{1-|z|}}{z^{n+1}}\right| $$

Und jetzt fangen wir das an aufzulösen. \(\gamma\) läuft genau einmal einen Kreis mit Radius \( r \) ab. Die Länge der Kurve ist also gerade der Umfang des Kreis: \( l(\gamma) = 2\pi r \).

Alle \( z \in \textrm{Bild }\gamma \) liegen auf dem Kreis mit Radius \( r \), haben also auch Betrag \( r \).

$$ \max_{z \in \textrm{Bild }\gamma} \left| \frac{\frac{1}{1-|z|}}{z^{n+1}}\right| = \frac{\frac{1}{1-r}}{r^{n+1}} = \frac{1}{r^{n+1}-r^{n+2}} $$

Zusammengefasst:

$$ |f^{(n)}(0) | \le \frac{n!}{2\pi} 2\pi r \frac{1}{r^{n+1}-r^{n+2}} = n! \frac{1}{r^n-r^{n+1}} = (n+1)! \frac{1}{(n+1)(r^n-r^{n+1})}$$

Das r war bis jetzt beliebig gewählt, wir suchen nun ein betimmtes r, s.d. genau die gewünschte Form rauskommt:

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \stackrel{!}{=} \frac{1}{(n+1)(r^n-r^{n+1})} \\\iff (1-r)r^n = \frac{1}{(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$$

Probieren wir also mal \( r = \frac{1}{1+\frac{1}{n}} < 1 \), dann ist $$ 1 - r = \frac{1+\frac{1}{n} - 1}{1+\frac{1}{n}} = \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} = \frac{1}{n+1} $$

Passt also. 

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