$$a_{n}=\sum \limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$$
$$a_{2n+1}=\sum \limits_{k=2n+2}^{4n+2} \frac{1}{k}$$
In der 2. Summe stehen 2n Summanden, von denen die
ersten n Stück alle einen Nenner ≥ 2n+2 haben.
Also sind die Kehrwerte alle ≤ 1/(2n+2) und damit die
Summe der ersten n Summanden ≤ n * 1/(2n+2) = 1/2 * n/(n+1).
Der n+1 Summand hat den Nenner 2n+2 + n+1 = 3n+3 ,
also ist die Summe der letzten n Summanden
≤ n * 1/(3n+3) = 1/3 * n/(n+1).
Für a2n+1 gilt also die Abschätzung für alle n∈ℕ:
a2n+1 ≤ 1/2 * n/(n+1) + 1/3 * n/(n+1) = 5/6 * n/(n+1) #
Da der Bruch n/(n+1) für n gegen unendlich gegen 1 geht,
Ist die Folge der a2n+1 nach oben beschränkt durch 5/6.
Außerdem ist sie monoton wachsend; denn
a2n+1 ≤ a2(n+1)+1
denn die entsprechenden Summen unterscheiden sich nur
um die ersten beiden Summanden links und die letzten 4 rechts
und es ist
1/(4n+3) + 1/(4n+4) + 1/(4n+5) + 1/(4n+6)
≥ 1/(4n+4) + 1/(4n+4) + 1/(4n+6) + 1/(4n+6)
= 2/(4n+4) + 2/(4n+6)
= 1/(2n+2) + 1/(2n+3) .
Also ist a2n+1 konvergent und wegen # ist der Grenzwert ≤5/6.
Und es ist a2 = 7/12 .
