Vollständige Induktion. Ungleichung mit Fakultät zeigen: n^n >(n+1)! Abschätzung mit zwei Summanden des Binomialsatzes

Question

Hallo .ich verstehe diese übung  nicht.

Zeigen Sie  durch vollständige Induktion:

nⁿ >(n+1)!

Verwenden Sie zur  Abschätzung  die zwei größten Summanden des Binomialsatzes.

Induktion Anfangs

Für n=3

3³ >(3+1)!

27>24

Induktion Annahme :nⁿ>(n+1)!

Induktionsschrit 

(n+1)ⁿ⁺¹  >(n+2)!

(n+1)! +(n+1)ⁿ⁺¹  >(n+2)!

(n+1)!+ (n+1)(n+1)ⁿ  >(n+2)(n+1)!

 Wie sollte ich weiter machen?

Comments

1. Kannst du mal diesen Binomialsatz exakt zitieren? 

2. Was wird deiner Meinung nach als "die zwei größten Summanden" bezeichnet? 

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Das ist die genaue Bild

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So gemeint: \((n+1)^{n+1}>n^{n+1}+(n+1)\cdot n^n=n^n\cdot(2n+1)\overset{\small\textsf{IV}}>(n+1)!\cdot(n+2)=(n+2)!\) ?

Answer 1

Zu zeigen:
n^n > (n + 1)! für n ≥ 3

Induktionsanfang: n = 3
3^3 > (3 + 1)!
27 > 24
wahr

Induktionsschritt: n --> n + 1
(n + 1)^{n + 1} > (n + 1 + 1)!         
   Die ersten 2 Summanen mit dem binomischen Satz ausmultiplizieren.
n^{n + 1} + (n + 1)·n^n + ... > (n + 2)!
n^{n + 1} + 2·n^n > (n + 2)!
n·n^n + 2·n^n > (n + 2)!
n^n·(n + 2) > (n + 1)!·(n + 2)
n^n > (n + 1)!

Comments

Was ist damit gezeigt?

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Ich habe damit doch gezeigt, dass es für n = 3 gilt.

Und wenn es für ein festes aber beliebiges n gilt, dass es dann auch für n + 1 gilt oder nicht ?