Zeigen Sie, dass f einen eindeutigen Fixpunkt besitzt

Question

Aufgabe:

(X,d) vollst. metr. Raum.  f:X → X  derart, dass f^k = f ° f ° ... : X → X kontraktiv ist.

Zeigen Sie, dass f einen eindeutigen Fixpunkt besitzt.

Problem/Ansatz:

ich will das mit dem Banachschen Fixpunktsatz zeigen. Wir benötigen einen vollst. Raum und eine Selbstabbildung, was wir hier haben. Jetzt muss man also noch zeigen, dass f eine Kontraktion ist. (Also dass d(f(x),f(y)) < L * d(x,y) für ein L∈ (0,1).)

Ich habe es so versucht : d(f(f...(x)), f(f(..(y))) < L_k d(x,y).  Setzte L_k = ∏ L_i ( von i=1 bis k)

Dann kann man k-1 mal dass f rausziehen sodass man d(f(x),f(y)) < ∏ L_i * d(x,y) (für i=1 bis 1) also  die gesuchte Kontraktionsbedigun.

Ich vermute aber dass dieser Ansatz falsch ist.

Dankbar für Tipps :)

Answer 1

Hallo

 du sollst doch gar nicht zeigen, dass die Abbildung kontrastiv ist, das ist doch vorausgesetzt! zeigen sollst du dass unter der Voraussetzung f einen EINDEUTIGEN Fixpunkt also f(xf)=xf besitzt. ich würde einen Beweis durch Widerspruch versuchen.

Lies bitte Aufgaben genauer, sag zu dir selbst: was genau ist gefragt!

Gruß lul

Comments

Hm ich dachte das lediglich die Verknüpfung f^k kontraktiv ist und ich so es auch für f zeigen sollte. Ich schaue mir dass dann nochmal an.. Danke

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Irgendwas verstehe ich hier nicht. Wenn f kontraktiv ist kann ich doch mit Ban.Fixpktsatz folgern das es ein eindeutigen Fixpunkt gibt.  Der Zusammenhang mit der Verknüpfung verwirrt mich :(

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Hallo

 du hast recht und ich war falsch, nur f^k ist als kontraktiv deklariert.

Gruß lul

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Wow ok.  Meinst du der Ansatz ist dementsprechend richtig, dass ich mit der Lipschitzstetigkeit formel arbeiten muss ( für L aus (0,1))