Zeichen einer Funktion mit folgenden Eigenschaften

Question

Aufgabe:

Hallo erst einmal,

wie soll ich am besten bei dieser Art  von Aufgaben vorgehen:

Zeichnen sie den qualitativen Verlauf einer stetigen Funktion f: [-2,2]
-> R
die folgende Eigenschaften aufweist:
i. f(x)= -f(-x) (Punktsymmetrie)
ii. f hat eine Nullstelle in x0=0 (selbsterklärend)
iii. f ist nur in x0=0 nicht differenzierbar (?)
iv. f is streng konvex für positive argumente des Definitionsbereichs
(strenge konvexität von ]0,2]
v. f weist eine kritische Stelle in x0=2 auf. ( Dies könnte doch sowohl ein Minimum als auch ein Maximum sein oder?

Comments

i. f(x)= -f(-x) (Punktsymmetrie)
ii. f hat eine Nullstelle in x0=0 (selbsterklärend)
iii. f ist nur in x0=0 nicht differenzierbar (?)

Das ist doch ein Widerspruch in sich - oder?

Definition von Differenzierbarket: Eine Funktion ist in \(x_0\) differenzierbar, wenn der beidseitige Grenzwert des Differenzquotienten existiert - also:$$\lim_{h \to\, +0} \frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \to\, -0} \frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}$$mit \(x_0\), \(f(x_0)=0\) und \(f(x)=-f(-x)\) erhält man$$\lim_{h \to\, +0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to\, -0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to\, +0} \frac{f(-h)}{-h} = \lim_{h \to\, +0} \frac{f(h)}{h} $$Da \(f(x)\) stetig ist, existiert dieser Grenzwert in jedem Fall und ist beidseitig identisch wie oben gezeigt. Demnach ist (iii.) nicht möglich, wenn (i.) und (ii.) vorgegeben ist.

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Das ist doch ein Widerspruch in sich - oder?

Nein.

            0 falls x=0
f(x) = (
            x/(2e) * ln(|x|/(2e))  sonst

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a. Zeichnen Sie den qualitativen Verlauf einer stetigen Funktion f : [-2; 2] ! R, die folgende Eigenschaften
aufweist: (5 Punkte)
i. f(x) = -f(-x)
ii. f hat eine Nullstelle in x0 = 0.
iii. f ist nur in x0 = 0 nicht differenzierbar.
iv. f ist streng konvex für positive Argumente des Defnitionsbereichs.
v. f weist eine kritische Stelle in x0 = 2 auf.

Habe es jetzt mal eins zu eins kopiert und anscheinend habe ich keinen Fehler beim ausschreiben gemacht, ist eine Altklausuraufgabe gewesen.

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Dann besteht der "Widerspruch in sich" darin, dass x0 nicht gleichzeitig 0 und 2 sein kann.

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Ich kann es dir leider nicht sagen.

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Nein.

war ja klar, wenn auf meinen Kommentar was kommt, dann von hj2166 ;-)

.. warum soll meine obige Überlegung für $$f(x) = \begin{cases} =0 & \text{für} \space x=0 \\ = \frac x{2e} \cdot \ln\left(\frac{|x|}{2e}\right) & \text{sonst} \end{cases} $$ nicht gelten? Es ist IMHO noch nicht mal notwendig, dass \(f(0)\) überhaupt definiert ist.

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Deine Aussage   Da f(x) stetig ist, existiert dieser Grenzwert in jedem Fall   ist falsch

und  Es ist IMHO noch nicht mal notwendig, dass f(0) überhaupt definiert ist.  wird durch die Forderung   Verlauf einer stetigen Funktion f: [-2,2] -> R   der Aufgabenstellung erledigt.

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Deine Aussage  Da f(x) stetig ist, existiert dieser Grenzwert in jedem Fall  ist falsch

Ok - ich verwechsle gerne stetig und stetig differenzierbar. Ich glaube wir beide hatten das identische Thema schon mal dran.

Dann habe ich auch ein Beispiel:$$f(x) = \text{sgn}(x) \sum_{n=0}^{\infty} a^n \left(\cos\left( b^n\pi x\right) -1 \right) \\ \quad 0\lt a \lt 1, \space b \in \{b: \space b=2k+1, \space k \in \mathbb{N}\}$$diese Funktion ist IMHO stetig aber gar nicht differenzierbar, also auch nicht bei \(x=0\). Diese Funktion kann man aber nicht zeichnen.

Ich halte es aber nach wie vor für ausgeschlossen, dass es eine stetige Funktion gibt, die

1.) punktsymmetrisch bzgl. (0,0) ist

2.) nur(!) bei \(x=0\) nicht differenzierbar ist

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Vielleicht stimmst du immerhin zu, dass die Bedingung  f(0) = 0  aus Stetigkeit und Symmetrie folgt, also nicht gefordert zu werden braucht.

Differenzierbarkeit bei x=0 impliziert, dass  f'(0) in ℝ existiert, was bei meinem Beispiel nicht der Fall ist und was deine Grenzwerte eben hinfällig sein lässt.

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Vielleicht stimmst du immerhin zu, dass die Bedingung  f(0) = 0  aus Stetigkeit und Symmetrie folgt, also nicht gefordert zu werden braucht.

Ja - sowieso. Ich meine auch nicht, dass ich hier was anderes unterstellt hätte.

Differenzierbarkeit bei x=0 impliziert, dass  f'(0) in ℝ existiert, was bei meinem Beispiel nicht der Fall ist

Oh ja - jetzt ist der Groschen gefallen. Du dürftest in Zukunft ruhig bei Deinen Kommentaren mal einen Satz mehr dazu schreiben. Das würde die Kommunikation deutlich erleichtern ...

und das würde dann auch für$$f(x) = \text{sgn}(x) \sqrt{|x|}$$ gelten - oder? Du hast ja wirklich ein gemeines Beispiel gewählt (der blaue Graph). Das, worauf es ankommt, ist ja im Plot auch bei beliebiger Vergrößerung nicht zu sehen:

~plot~ -x/(2*exp(1))*ln(abs(x)/(2*exp(1)));(1-(x<0)*(2))*sqrt(abs(x)) ~plot~ da würde ich ja lieber die Wurzel-Funktion nehmen (der rote Graph).

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Du hast ja wirklich ein gemeines Beispiel gewählt

ist der Forderung nach der kritischen Stelle bei x=2 geschuldet.

Answer 1

Ich habe mir die Aufgabe nicht so genau durch-
gelesen müßte aber den Vorgaben I bis V entsprechen