\(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} \frac{x^{k}-\alpha^{k}}{x-\alpha}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} \)
Mache vollst. Induktion.
Für n=1 ist es wohl klar.
Es gelte für n #
==> \(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n+1} a_{k} \frac{x^{k}-\alpha^{k}}{x-\alpha}\)
\(\displaystyle= \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} \frac{x^{k}-d^{k}}{x-\alpha} +a_{n+1} \frac{x^{n+1}-\alpha^{n+1}}{x-\alpha}\)
Dann # einsetzen
\(\displaystyle= \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} +a_{n+1} \frac{x^{n+1}-\alpha^{n+1}}{x-\alpha}\)
Die klassische Formel \( a^n - b^n = (a-b) \sum \limits_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i}b^{i} \)
(Die man auch mit vollst Ind. beweisen kann.) gibt dann
\(\displaystyle= \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} +a_{n+1} \frac{ (x-\alpha)\sum \limits_{i=0}^{n} x^{n-i}\alpha^i }{x-\alpha}\)
kürzen gibt
\(\displaystyle= \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} +a_{n+1} \sum \limits_{i=0}^{n} x^{n-i}\alpha^i \)
und wenn man die letzte Summe andersherum laufen lässt
\(\displaystyle= \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} +a_{n+1} \sum \limits_{i=0}^{n} x^{i}\alpha^{n-i} \)
Passt zum Ergebnis der zu beweisenden Formel für n+1:
\( =\sum \limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} \) q.e.d.
