Aloha :)
Nach der Integration hängt das Integral nur noch von dem Parameter \(t\) ab:$$F(t)=\int\limits_1^2\frac{e^{xt}}{x}\,dx$$und du sollst die Ableitung \(F'(t)\) an der Stelle \(t=1\) bestimmen. Du müsstest also theoretisch zuerst über \(dx\) integrieren und anschließend nach \(t\) ableiten:$$F'(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\int\limits_1^2\frac{e^{xt}}{x}\,dx$$Wenn jedoch der Integrand in \(x\) und \(t\) stetig ist und seine partielle Ableitung nach \(t\) existiert und ihrerseits wieder in \(x\) und \(t\) stetig ist (im Integrationsbereich), darf man die Reihenfolge von Integrieren und Ableiten vertauschen (Leibniz'sche Regel). Also ist hier:$$F'(t)=\int\limits_1^2\left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{e^{xt}}{x}\right)\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{x\cdot e^{xt}}{x}\right)\,dx=\int\limits_1^2e^{xt}\,dx=\left[\frac{e^{xt}}{t}\right]_{x=1}^2=\frac{e^{2t}}{t}-\frac{e^t}{t}$$Daher ist:$$F(1)=e^2-e=e(e-1)$$
