x^-1 ableiten / Normale und Tangente von x^3-1/2x im Punkt P(-2/f(-2))

Question

ich habe ein paar Fragen. Ich lerne gerade für eine Mathe Klausur und schaue mir Aufgaben an, die wir schon gerechnet haben. Allerdings kann ich nicht alles nachvollziehen.

1. f(x)=x^-1

    f'(x)=-1/x²

-> Wie kommt man auf die Ableitung?

2. Die Normale n ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente t steht. Bestimme die Gleichung der Tangente und der Normale an den Graphen von f in P.

f(x)=x³-1/2x  P(-2/f(-2))

t(x)=11.5x+16 -> verstehe ich noch

n(x)=-2/23 *(x+2-7)  -> woher kommt das x+2-7?

= -2/23x-165/23

Ich wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.

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Answer 1

f(x) = x^{-1}

Potenzregel beim Ableiten

f'(x) = -1 * x^{-2} = -1/x^2

f(x) = x^3 - 1/2·x

f'(x) = 3·x^2 - 1/2

t(x) = f'(-2)·(x - (-2)) + f(-2) = 11.5·x + 16

n(x) = -1/f'(-2)·(x - (-2)) + f(-2) = - 2/23·x - 165/23

Comments

Okay, aslo das 1. verstehe ich.

Aber beim 2. verstehe ich das mit f'(-2)·(x - (-2)) + f(-2) und -1/f'(-2)·(x - (-2)) + f(-2) nicht? Woher kommt das?

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Das ist die allgemeine Tangentengleichung und die allgemeine Normalengleichung an einer Stelle.

Will man die Tangente an die Funktion f(x) an der Stelle a aufstellen schreibt man

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)

n(x) = -1/f'(a) * (x - a) + f(a)

Es ist ganz nützlich diese Funktionsgleichungen zu kennen.

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Okay, vielen Dank und für a setzt man dann den x Wert, also in diesem Fall -2 ein?

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Ja genau. Weil die Stelle ja -2 sein soll.