Tangente und Normale im Punkt P bestimmen: k:y=(x^2- 1)^{1/2} P(2/?)

Question

Hallo

Ich muss die Gleichung der Tangente und Normale der Kurve k im Punkt P bestimmen. 

k:y= (x²- 1)^1/2   P(2/?)

Doch weiss ich nicht wie ich das machen sollte, hier habe ich mal k abgeleitet

k':y =  (x²- 1)^-1/2

Answer 1

Hi,

Der Punkt P liegt bei

y=(2^2-1)^{1/2} = √3 -> P(2|√3)

 

Ableiten ist nun ein erster richtiger Schritt. Es ergibt sich daraus die Steigung:

k'(x) = x/(x^2-1)^{1/2}

(Das x im Zähler kommt aus der innere Ableitung. Eigentlich 2x, was sich aber mit 1/2 kürzt)

k'(2) = 2/(4-1)^{1/2} = 2/√3

 

Die Tangente hat die Form: y=mx+b mit m=2/√3

Punkt P einsetzen:

√3 = 2/√3 * 2 + b  = 4/√3 + b   |-4/√3

√3 - 4/√3 = b = -√3/3

 

Die Tangente lautet also:

t: y = 2/√3*x-√3/3

 

Die Normale dazu bestimmt sich mit m_t*m_n=-1.

-1/(2/√3) = -√3/2 = m_n

Punkt P einsetzen:

√3 = 2*(-√3/2) + b

√3 = -√3 + b   |+√3

b = 2√3

 

Es ist also :

n: y = -√3/2*x + 2√3

 

Grüße

Comments

Noch ein Bild zum Anschauen und kontrollieren der Rechnung ;).

 

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noch eine Frage bei dieser Gleichung: mt*mn=-1  ist es immer =-1??

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Ja. Das Produkt zweier senkrechter Steigungen ist immer -1

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Aber warum? Soll in einem Referat den Beweis vorstellen?

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Da muss bekannt sein, welche Hilfsmittel denn erlaubt sind. Bspw. Skalarprodukt bekannt?

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@unknown

Ich verweise auf meine Antwort in

https://www.mathelounge.de/287491/beweis-steigung-der-tangente-steigung-der-normale-1

an den Fragesteller.

Answer 2

Zunächst einmal: Die Ableitung von

f ( x ) = ( x ² - 1 ) ^1/2

ist

f ' ( x ) = x / ( x ² - 1 ) ^1/2

Um das Fragezeichen ( also die y-Koordinate) des Punktes P zu berechnen, braucht man nur die x-Koordinate in f ( x ) einzusetzen, also:

f ( 2 ) = ( 2 ² - 1 ) ^1/2 = √ 3

Der fragliche Punkt ist also: P ( 2 | √ 3 ).

 

Für die gesuchten Geraden benötigst du erst einmal deren Steigungen. 

Die Tangentensteigung m _t  im Punkt P ergibt sich aus der Ableitung von f an der Stelle 2, also:

m _t = f ' ( 2 ) = 2 / √ 3

Die Normalensteigung m _n im Punkt P ist gleich dem negativen Kehrwert der Tangentensteigung m _{t ,} also:

m _n = - 1 / m _t = - √ ( 3 ) / 2

Sowohl die Tangente als auch die Normale verlaufen durch den Punkt P. Da man nun auch deren Steigungen kennt, kann man mit Hilfe der Punkt-Steigungsform

y = m ( x - x _p  ) + y _p

recht einfach die gesuchten Geradengleichungen aufstellen. x _p und y _p sind dabei die x- bzw. y-Koordinaten des Punktes P.

Für die Tangentengleichung erhält man auf diese Weise:

t : y = m _t * ( x - 2 ) + √ 3 = ( 2 / √ 3 ) * x - 2 * 2 / √ 3 + √ 3 = ( 2 / √ 3 ) * x - 1 / √ 3

und für die Normalengleichung:

n : y = m _n * ( x - 2 ) + √ 3 = ( - √ ( 3 ) / 2 ) * x + 2 * √ 3

Hier ein Schaubild des Graphen von f ( x ) (blau) sowie der Tangenten (rot) und der Normalen (gelb).

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2-1%29%5E%281%2F2%29+%2C+%282%2Fsqrt%283%29%29*x-1%2Fsqrt%283%29+%2C+%28-sqrt%283%29%2F2%29*x%2B2*sqrt%283%29from0to3

(Dass die Normale nicht senkrecht auf der Tangenten zu stehen scheint, liegt an der von WolframAlpha automatisch vorgenommenen, unterschiedlichen Skalierung der x- und der y-Achse. Ich habe leider immer noch nicht herausgefunden, wie man WolframAlpha sagt, dass beide Achsen identisch skaliert werden sollen. Vielleicht weiß ja hier jemand einen Rat...?)

Comments

Ich habe mal ein wenig an den Befehlen rumgespielt.

Dies scheint zu klappen ;).

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot[%28x^2-1%29^%281%2F2%29+%2C+%282%2Fsqrt%283%29%29*x-1%2Fsqrt%283%29+%2C+%28-sqrt%283%29%2F2%29*x%2B2*sqrt%283%29%2C+{x%2C0%2C5}%2C+{y%2C0%2C5}]

P.S.: Man muss eventuell an der y-Achse mehr/weniger nehmen, da die Achsen unterschiedlich gestreckt werden oO

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Ok, damit kann man ein wenig herumspielen, aber so richtig toll ist das immer noch nicht. Trotzdem danke für den "netten Versuch" ... :-)