Tangente und Normale im Punkt Q bilden mit y-Achse gleichschenkliges Dreieck

Question

Aufgabe:

Gegeben: f(x)= -1/27*x^3+3x und der Graph von f ist K.

Q(a/f(a)) ist ein Punkt auf K mit a>0. Die Tangente und die Normale in Q bilden zusammen mit der y-Achse ein gleichschenkliges Dreieck. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q.

Problem/Ansatz:

Ich denke, man muss bei dieser Aufgabe mit der Ableitung der Funktion arbeiten.

Dankeschön

Answer 1

Hallo

ja du brauchst f'(a) und damit  Tangente die durch (a,f(a)) geht, und die Normale deren Steigung-1/f'(a) ist und auch durch Q geht. beide mit der x Achse schneiden , dann den Abstand der Schnittstellen von Q bestimmen , die müssen gleich sein daraus a bestimmen.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Ich denke, man muss bei dieser Aufgabe mit der Ableitung der Funktion arbeiten.

Ja - gleichwohl solltest Du Dir vorher noch eine Skizze machen. Tangente und Normale stehen senkrecht auf einander. Das heißt, dass der Scheitelwinkel in dem gleichschenkligen Dreieck \(90°\) ist und die beiden Basiswinkel folglich je \(45°\). Und da die Y-Achse senkrecht steht, müssen Tangente und Normale jeweils die Steigung \(1\) und \(-1\) haben.

Es gibt zwei Lösungen. Eine davon habe ich Dir hier aufgezechnet.

~plot~ -1/27*x^3+3x;{sqrt(18)|sqrt(18)*7/3};[[-11|16|-3|17]];x+sqrt(18)*4/3;-x+sqrt(18)*10/3 ~plot~

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner