Tangente und Normale im Punkt Q(1 | 2/e) .

Question

Ich benötige  Hilfe zur Losung  dieser Aufgabe.

Gegeben ist eine Funktion f (x)= 2*e^-x

a) wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt  P (0/2)?

b) wie lautet die Gleichung der Normalen im Punkt Q (1/ 2/e)? Was ist eine Normale?

c) wie lang ist die Strecke auf der x-Achse, welche durch die beiden Graphen aus a und b begrenzt wird?

Dankeschön

Answer 1

Steigung der Tangente ist f ' ( 0) = - 2

Ein Punkt ist ( 0;2).  Also ist der y-Achsenabschnitt 2

also   y= -2x + 2

Normale hat die Steigung   - 1 / Steigung der Tangente  = - 1 / f ' (1) =  - 1 / ( -2/e)  =  e/2

Punkt ist ( 1 ; 2/e  )    also mit  y = mx + n

                                           2/e =  ( e/2 ) * 1  + n

                               2/e   -  e/2    = n

Also  Normale ( die im Berührpunkt auf der Tangente senkrecht steht)

                                         y=  ( e/2 ) * x  +     2/e   -  e/2

                                      y = 1,36x - 0,62

Comments

Die Steigung der Normalen (mN) multipliziert mit der Steigung (mF) der Tangente in dem Punkt, in dem die Normale eine Funktion schneidet, ergibt  -1. warum -1 und nicht 1?

   −. Waru -1 und nicht 1?

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zeichne dir mal zwei Geraden, die senkrecht zueinander sind in ein Koordinaten system

etwa   y = 2x + 1   und  y = -1/2 + 1

und dann die Steigungsdreiecke, dann siehst du es.

Answer 2

Gegeben ist eine Funktion f (x)= 2*e^-x

a) wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt  P (0/2)?

t(x) = f'(0) * (x - 0) + f(0) = 2 - 2·x

b) wie lautet die Gleichung der normale im Punkt Q (1/ 2/e)? Was ist eine normale?

n(x) = -1/f'(1) * (x - 1) + f(1) = e·x/2 - e/2 + 2·e^{-1} = 1.359·x - 0.6234

c) wie lang ist die strecke auf der x-achse welche durch die beiden Graphen aus a und b begrenzt wird?

2 - 2·x = 0 --> x = 1

1.359·x - 0.6234 = 0 --> x = 1 - 4·e^{-2}

1 - (1 - 4·e^{-2}) = 4·e^{-2} = 0.5413

Du kannst das ganze mal an einer Skizze Prüfen. Das erlaubt dir vielleicht auch die Rechnung besser zu verstehen.

Comments

könntest du mir erklären wie du auf diese gleichung kommst? t(x) = f'(0) * (x - 0) + f(0) = 2 - 2·x

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Das ist so eine allgemeine Formel für die Tangentengleichung.

Geht natürlich auch " zu Fuß". siehe meine Lösung.

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zu a) ich habe es so versucht:

f'(x)= - 2e ^-x

t(x)= mx + n

m= f'(0)

m= -2

m+n=2

-2 + n=2

n=4

t(x) = -2x+4

aber mein ergebnis  passt nicht mit dem ergebnis, das im forum gestellt wurde

woran liegt es?

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Folgende Zeile ist verkehrt. 

m + n = 2

Wie muss sie richtig lauten ?

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m= f'(0)

m= -2

m * x +n=2   und bei dem Punkt ist ja x=0, also

-2 * 0 + n=2

          0+n = 2

             n = 2 !!!