Punkt auf Graphen finden, in dem Tangenten und Y-Achse ein gleichschenkliges Dreieck bilden.

Question

Aufgabe:

Die Funktionen f(x) = (-x^2+3)e^{-x} und g(x) = e^{-x} sind gegeben.

Nun werden jeweils an dem Schnittpunkt mit der Y-Achse Tangenten an die Graphen f(x) und g(x) gelegt. Diese Tangenten bilden mit der Y-Achse ein Dreieck, dessen Fläche es zu berechnen gilt.

Ferner soll begründet werden, dass es für x<-1 auf dem Graphen der Funktion f einen Punkt gibt, in dem die Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck bilden.

Problem/Ansatz:

Auf die Schnittstellen 3 für f(0) und 1 für g(0) bin ich noch gekommen, habe dann einmal mit der Formel A = 0,5gh und einmal mit dem Integral gerechnet, kam aber auf verschiedene Ergebnisse. Welcher Weg ist richtig??

Bei der Begründung habe ich gar keine Idee, außer das n-Mal auszuprobieren, bis ein passender Punkt gefunden wurde....Ich denke/ hoffe aber, dass es einen einfacheren Lösungsweg gibt.

Answer 1

Für die Flächeninhalt des Dreiecks braucht es die Tangentengleichungen. Die Grundlinie des Dreiecks ist 3-1 = 2 auf dem y-Achsen-Abschnitt, die Höhe ist die x-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Tangenten.

Für die Tangentengleichungen braucht es jeweils die Steigung und den y-Achsen-Abschnitt.

f'(x) = e^(-x) (x^2 - 2x - 3)

g'(x) = -e^(-x)

f'(0) = -3

g^(0) = -1

f(0) = 3

g(0) = 1

Tangente a (an f): y = -3x + 3

Tangente b (an g); y = -x + 1

Schnittpunkt (a, b): -3x + 3 = -x + 1   ⇒   x = 1

Flächeninhalt = Grundlinie * Höhe / 2 = 2 * 1 / 2 = 1

Ferner soll begründet werden, dass es für x<-1 auf dem Graphen der Funktion f einen Punkt gibt, in dem die Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck bilden.

Das ist der Fall, wenn die Tangentensteigung dort irgendwo ± 1 ist.

Comments

Vielen Dank! Die Antwort hat mir sehr geholfen.

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Das freut mich zu hören.Gerne geschehen.

Answer 2

Man sollte sich zum Verständnis eine gute Skizze anfertigen