Strahlensatzaufgabe Streckenverhältnisse beweisen

Question

Sei \( \Delta(A, B, C) \) ein Dreieck in \( \mathbb{R}^{2} \), sei \( D \) der Mittelpunkt von \( A B \), und sei \( E \) der Mittelpunkt von \( B C \). Die Strecken \( A C \) und \( D E \) sind parallel (z.B. wegen \( \overrightarrow{D E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \) ). Beweisen Sie mittels des Strahlensatzes, dass für den Schnittpunkt \( S \) von \( A E \) und \( C D \) gilt: \( \frac{|S D|}{|S C|}=\frac{1}{2} \)

Answer 1

Die Dreiecke ASC und DES haben die gleichen Winkel (Scheitel-,Wechsel-). Also sind sie ähnlich. Daraus folgt insbesondere \( \frac{|S D|}{|S C|}=\frac{|DE|}{|AC|} \).

Answer 2

Das DE/AC = 1/2 war ja bereits in der Aufgabe vorgegeben und nun gilt nach Strahlensatz:

SD/SC = DE/AC = 1/2