Bei den Ableitungsregeln setzt du immer die Differenzierbarkeit der Funktionen voraus. Wenn du bspw. in einem Punkt \( x_0\) die Ableitung von $$ f(x)= x^x = e^{\ln(x)x} = (g\circ h)(x)$$ mit der Kettenregel bestimmen möchtest, musst du bereits wissen, dass $$ h(x) = \ln(x)*x $$ in \( x_0\) und $$ g(h)=e^x $$ in \( h(x_0)=\ln(x_0)x_0\) differenzierbar ist.
Man sollte also etwas zur Differenzierbarkeit sagen. Oft hat man aber schon gezeigt, dass Summe, Produkt und Komposition von differenzierbaren Funktionen differenzierbar sind. Die Differenzierbarkeit von elementaren Funktionen hat man meist auch schon nachgewiesen.
Du könntest also argumentieren:
\( (0,\infty)\to\mathbb{R}, x \mapsto x \) diffbar
\( (0,\infty)\to\mathbb{R},x\mapsto \ln(x) \) diffbar
Also \( (0,\infty)\to\mathbb{R},x\mapsto x\ln(x)\) diffbar (Produkt diffbarer Funktionen)
Da \(\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto e^x\) überall diffbar ist (also auch auf dem Bild von \( x\ln(x)\))ist die Komposition$$ (0,\infty)\to\mathbb{R}, x \mapsto x^x $$ diffbar.
