Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung: Student Multiple-Choice-Fragen

Question

Aufgabe:

Ein Student, der keine Zeit hat sich auf einen 20-Fragen-Multiple-Choice-Test vorzubereiten, beschließt, bei jeder Frage aufs Geratewohl zu raten. Dabei besitzt jede Frage fünf Antwortmöglichkeiten.

a) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable, die die Anzahl der richtigen Antworten beschreibt? Wie viele Fragen beantwortet der Student im Mittel richtig?

b) Der Test gilt als bestanden, wenn zehn Fragen richtig beantwortet sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Studenten, den Test zu bestehen? Wo müsste die Grenze liegen, wenn die Chancen des Studenten, die Klausur durch Raten zu bestehen, größer als 5 % sein soll?

Problem/Ansatz:

a) E(x) = 20 * 1 / 5 = 4

b) P(x ≥ 10) = 1 - P(x<10) = ab hier weiß ich leider nicht weiter.

Was ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass er weniger als 10 Fragen beantwortet? Wie komme ich darauf? Wie muss ich bei der restlichen Teilaufgabe weiter machen?

Freue mich über Antworten, danke im Voraus. :)

Euer Max

Answer 1

P(x ≥ 10) = 1 - P(x<10)

P(x < 10) = P(x = 0) +  P(x = 1) + P(x = 2) + ... + P(x = 9)

Entweder über die kumulierte Binomialverteilung mit n=20, p=0.2, k=9 oder über die Summe \(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^9 \displaystyle\binom{20}{i}\cdot 0.2^i\cdot 0.8^{20-i}\). Wenn du mit letzterem rechnest, bietet es sich aber an, direkt \(\displaystyle\sum\limits_{i=10}^{20} \displaystyle\binom{20}{i}\cdot 0.2^i\cdot 0.8^{20-i}\) zu nutzen.

Wo müsste die Grenze liegen, wenn die Chancen des Studenten, die Klausur durch Raten zu bestehen, größer als 5 % sein soll?

Es muss gelten P(x ≥ k) > 0.05 ⇔ P(x ≤ k-1) < 0.95

Der Stichprobenumfang und die Erfolgswahrscheinlichkeit bleiben ja gleich. Somit könnte man raten oder in einschlägigen Tabellen nachgucken.

Lösung:

[spoiler]

b1) P ≈ 0.26%
b2) k = 7

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Comments

Super, vielen Dank für die Antwort! :)