Korrelationskoeffizient bestimmen

Question

Von den beiden Zufallsvariablen X und Y ist bekannt, dass Var(X) = 1, 
Var(Y) = 4 und Var(3X + 2Y ) = 13 gelten.

a) Bestimmen Sie Cov(3X,2Y ), Cov(X,Y ) und den Korrelationskoeffizienten p(X,Y ).

b) Wie verändert sich der Korrelationskoeffizient p(X,Y ), wenn nun gilt
Var(X) = 1, Var(Y ) = 4, Var(3X,2Y ) = 13.

Folgende Formel:

$$\left. \begin{array} { l } { \operatorname { Var } ( X ) = E ( X ^ { 2 } ) - ( E ( X ) ) ^ { 2 } } \\ { \operatorname { Cov } ( X , Y ) = E ( X Y ) - E ( X ) * E ( Y ) } \end{array} \right.$$

Für Kovarianz benötige ich den Erwartungswert, aber wie erhalte ich diesen? Wie komme ich auf die Kovarianz und damit zum Korrelationskoeffizienten?

Answer 1

Aloha :)

Es gilt allgemein:

$$\text{Var}\,(aX+b)=a^2\,\text{Var}\,(X)\quad;\quad a,b\in\mathbb{R}\quad;\quad X=\text{Zufallsvariable}$$$$\text{Var}\,(X+Y)=\text{Var}\,(X)+\text{Var}\,(Y)+2\,\text{Cov}\,(X,Y)\quad;\quad X,Y=\text{Zufallsvariable}$$Falls dich der Beweis interessiert, siehe:

https://www.mathelounge.de/646556/varianz-und-kovarianz-x1-x2?show=646604#a646604

Damit nun zu deiner Aufgabe:$$(a1)\;\text{Var}\,(3X+2Y)=\text{Var}\,(3X)+\text{Var}\,(2Y)+2\,\text{Cov}\,(3X,2Y)$$$$\phantom{(a1)}\;\underbrace{\text{Var}\,(3X+2Y)}_{=13}=3^2\cdot\underbrace{\text{Var}\,(X)}_{=1}+2^2\cdot\underbrace{\text{Var}\,(Y)}_{=4}+2\,\text{Cov}\,(3X,2Y)$$$$\phantom{(a1)}\;13=9+16+2\,\text{Cov}\,(3X,2Y)$$$$\phantom{(a1)}\;2\,\text{Cov}\,(3X,2Y)=-12$$$$\phantom{(a1)}\;\text{Cov}\,(3X,2Y)=-6$$$$(a2)\;\text{Cov}(3X,2Y)=3\cdot2\cdot\text{Cov(X,Y)}=6\cdot\text{Cov(X,Y)}$$$$\phantom{(a2)}\;\text{Cov}(X,Y)=-1$$$$(a3)\;\rho(X,Y)=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\cdot\sqrt{\text{Var}(Y)}}=\frac{-1}{\sqrt1\cdot\sqrt4}=-\frac{1}{2}$$

Bei (b) steht in der Aufgabenstellung \(\text{Var}(3X,2Y)=13\). Wenn die Varianz gemeint ist, ist das dieselbe Aufgabe wie (a). Wenn \(\text{Cov}(3X,2Y)=13\) gemeint ist, kann das nicht sein, denn

$$(b) \;13=\text{Cov}(3X,2Y)=3\cdot2\cdot\text{Cov(X,Y)}=6\cdot\text{Cov(X,Y)}$$$$\phantom{(b)}\;\text{Cov}(X,Y)=\frac{13}{6}$$$$\phantom{(b)}\;\rho(X,Y)=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\cdot\sqrt{\text{Var}(Y)}}=\frac{\frac{13}{6}}{\sqrt1\cdot\sqrt4}=\frac{13}{12}>1$$Korrelationskoeffizienten liegen immer im Intervall \([-1;+1]\). Also muss in der Aufgabenstellung was nicht stimmen.

Answer 2

Hi,

Zu (a)

es gilt

$$ \text{Var} (3X+2Y) = \text{E} \left[ (3X+2Y)^2 \right]   -\left[ \text{E} (3X+2Y) \right]^2 = \\ 9\text{E}(X^2) + 12\text{E}(XY)+4\text{E}(Y^2)-9\text{E}^2(X)-12\text{E}(XY)-4\text{E}^2(Y) = \\ 9\text{Var}(X)+4 \text {Var}(Y) + 12\text{Cov}(XY) = \\ 9 + 16 + 12\text{Cov}(XY) = 13 $$ D.h. $$ \text{Cov}(XY) = -1 $$

$$ \text{Cov(3X,2Y)} = 6 \text{Cov}(XY) = -6 $$

$$ \rho(X,Y) = \frac{ \text{Cov}(X,Y) }{  \sqrt{ \text{Var}(X) \text{Var}(X)  } } = -\frac{1}{2} $$

Zu (b)

Was soll $$  \text{Var}(3X, 2Y) = 13 $$ bedeuten, oder ist $$  \text{Cov}(3X, 2Y) = 13 $$ gemeint.