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Von den beiden Zufallsvariablen X und Y ist bekannt, dass Var(X) = 1, 
Var(Y) = 4 und Var(3X + 2Y ) = 13 gelten.

a) Bestimmen Sie Cov(3X,2Y ), Cov(X,Y ) und den Korrelationskoeffizienten p(X,Y ).


b) Wie verändert sich der Korrelationskoeffizient p(X,Y ), wenn nun gilt
Var(X) = 1, Var(Y ) = 4, Var(3X,2Y ) = 13.


Folgende Formel:

Var(X)=E(X2)(E(X))2Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)\left. \begin{array} { l } { \operatorname { Var } ( X ) = E ( X ^ { 2 } ) - ( E ( X ) ) ^ { 2 } } \\ { \operatorname { Cov } ( X , Y ) = E ( X Y ) - E ( X ) * E ( Y ) } \end{array} \right.

Für Kovarianz benötige ich den Erwartungswert, aber wie erhalte ich diesen? Wie komme ich auf die Kovarianz und damit zum Korrelationskoeffizienten?

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Aloha :)

Es gilt allgemein:

Var(aX+b)=a2Var(X);a,bR;X=Zufallsvariable\text{Var}\,(aX+b)=a^2\,\text{Var}\,(X)\quad;\quad a,b\in\mathbb{R}\quad;\quad X=\text{Zufallsvariable}Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y);X,Y=Zufallsvariable\text{Var}\,(X+Y)=\text{Var}\,(X)+\text{Var}\,(Y)+2\,\text{Cov}\,(X,Y)\quad;\quad X,Y=\text{Zufallsvariable}Falls dich der Beweis interessiert, siehe:

https://www.mathelounge.de/646556/varianz-und-kovarianz-x1-x2?show=6…

Damit nun zu deiner Aufgabe:(a1)  Var(3X+2Y)=Var(3X)+Var(2Y)+2Cov(3X,2Y)(a1)\;\text{Var}\,(3X+2Y)=\text{Var}\,(3X)+\text{Var}\,(2Y)+2\,\text{Cov}\,(3X,2Y)(a1)  Var(3X+2Y)=13=32Var(X)=1+22Var(Y)=4+2Cov(3X,2Y)\phantom{(a1)}\;\underbrace{\text{Var}\,(3X+2Y)}_{=13}=3^2\cdot\underbrace{\text{Var}\,(X)}_{=1}+2^2\cdot\underbrace{\text{Var}\,(Y)}_{=4}+2\,\text{Cov}\,(3X,2Y)(a1)  13=9+16+2Cov(3X,2Y)\phantom{(a1)}\;13=9+16+2\,\text{Cov}\,(3X,2Y)(a1)  2Cov(3X,2Y)=12\phantom{(a1)}\;2\,\text{Cov}\,(3X,2Y)=-12(a1)  Cov(3X,2Y)=6\phantom{(a1)}\;\text{Cov}\,(3X,2Y)=-6(a2)  Cov(3X,2Y)=32Cov(X,Y)=6Cov(X,Y)(a2)\;\text{Cov}(3X,2Y)=3\cdot2\cdot\text{Cov(X,Y)}=6\cdot\text{Cov(X,Y)}(a2)  Cov(X,Y)=1\phantom{(a2)}\;\text{Cov}(X,Y)=-1(a3)  ρ(X,Y)=Cov(X,Y)Var(X)Var(Y)=114=12(a3)\;\rho(X,Y)=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\cdot\sqrt{\text{Var}(Y)}}=\frac{-1}{\sqrt1\cdot\sqrt4}=-\frac{1}{2}

Bei (b) steht in der Aufgabenstellung Var(3X,2Y)=13\text{Var}(3X,2Y)=13. Wenn die Varianz gemeint ist, ist das dieselbe Aufgabe wie (a). Wenn Cov(3X,2Y)=13\text{Cov}(3X,2Y)=13 gemeint ist, kann das nicht sein, denn

(b)  13=Cov(3X,2Y)=32Cov(X,Y)=6Cov(X,Y)(b) \;13=\text{Cov}(3X,2Y)=3\cdot2\cdot\text{Cov(X,Y)}=6\cdot\text{Cov(X,Y)}(b)  Cov(X,Y)=136\phantom{(b)}\;\text{Cov}(X,Y)=\frac{13}{6}(b)  ρ(X,Y)=Cov(X,Y)Var(X)Var(Y)=13614=1312>1\phantom{(b)}\;\rho(X,Y)=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\cdot\sqrt{\text{Var}(Y)}}=\frac{\frac{13}{6}}{\sqrt1\cdot\sqrt4}=\frac{13}{12}>1Korrelationskoeffizienten liegen immer im Intervall [1;+1][-1;+1]. Also muss in der Aufgabenstellung was nicht stimmen.

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Hi,

Zu (a)

es gilt

Var(3X+2Y)=E[(3X+2Y)2][E(3X+2Y)]2=9E(X2)+12E(XY)+4E(Y2)9E2(X)12E(XY)4E2(Y)=9Var(X)+4Var(Y)+12Cov(XY)=9+16+12Cov(XY)=13 \text{Var} (3X+2Y) = \text{E} \left[ (3X+2Y)^2 \right] -\left[ \text{E} (3X+2Y) \right]^2 = \\ 9\text{E}(X^2) + 12\text{E}(XY)+4\text{E}(Y^2)-9\text{E}^2(X)-12\text{E}(XY)-4\text{E}^2(Y) = \\ 9\text{Var}(X)+4 \text {Var}(Y) + 12\text{Cov}(XY) = \\ 9 + 16 + 12\text{Cov}(XY) = 13 D.h. Cov(XY)=1 \text{Cov}(XY) = -1

Cov(3X,2Y)=6Cov(XY)=6 \text{Cov(3X,2Y)} = 6 \text{Cov}(XY) = -6

ρ(X,Y)=Cov(X,Y)Var(X)Var(X)=12 \rho(X,Y) = \frac{ \text{Cov}(X,Y) }{ \sqrt{ \text{Var}(X) \text{Var}(X) } } = -\frac{1}{2}

Zu (b)

Was soll Var(3X,2Y)=13 \text{Var}(3X, 2Y) = 13 bedeuten, oder ist Cov(3X,2Y)=13 \text{Cov}(3X, 2Y) = 13 gemeint.

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