Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

Question

Aufgabe:

Die Frage ist:
Untersuchen Sie das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz
$$\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx$$
Die Antwort ist sorgfältig zu begründen!

Ich komme an dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich habe versucht das Integral aufzuteilen in
\[\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\]
\[\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=2\sqrt{c}+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\]

Bei dem zweiten Summanden weiß ich nicht wie ich den abschätzen soll.
Ich wäre über eure Hilfe dankbar :)

Answer 1

Hallo

 für x->oo setze Integrand < x-3/2

Gruß lula

Comments

Hallo lula danke für deine Antwort.

Stimmt, bei dem anderen Summanden lässt man dann einfach x wegfallen.

$$\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx$$
$$\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=2\sqrt{c}+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx$$
$$\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3}}dx=2\sqrt{c}+\frac{2}{\sqrt{c}}$$

Somit ist das Integral konvegent.

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Hallo

 dass da überall c steht irritiert, sonst richtig.

lul

Answer 2

Im Bereich von 1 bis unendlich ist  der Integrand  ≤   1 / (1 + x^2 )

wie folgende Umformung zeigt

  √x ≤ √(1+x^2)

==>  1 / √(1+x^2)   ≤   1 /  √x     | *   1 / √(1+x^2)

==>  1 / (1+x^2)   ≤  1 /  ( √x * √(1+x^2)   )  = Integrand.

Und dann bist du ja mit arctan dabei !

Comments

Wollt ihr nicht alle mal einen Kurs über ≤ und ≥ belegen ?

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Mein Irrtum.
(Das fehlende Wurzelzeichen hatte mich irritiert, das war aber ja nur ein Tippfehler.)