Senkrechte Asymptote bei f(x) = \( \frac{(x+3) (x-k)}{x^2 (x+3)} \)

Question

Aufgabe:

Wie kann man direkt feststellen, ob es eine senkrechte Asymptote mit oder ohne Vorzeichenwechsel gibt in der Aufgabe


f(x) = \( \dfrac{9 (x+3) (x-k)}{x^2 (x+3)} \)

Problem/Ansatz:

nach dem Kürzen: \( \dfrac{9(x-k)}{x^2} \)

Es soll eine hebbare Definitionslücke bei x= -3 geben. Das weiß man direkt, weil die (x+3) gekürzt wurde, oder?

und es soll  x=0 eine Senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel geben. Doch wie kann man das feststellen, ohne lim x geht gegen null anzuwenden?
Ich kenn die Regel: Wenn Vielfachheit der Nullstellen des Nenners minus die des Zählers gerade Zahl ist dann ohne Vorzeichenwechsel doch wie wendet man das hier konkret an? Welche Nullstellen sind hier gemeint? Vor Abkürzen oder nach Abkürzen?

Answer 1

9·(x + 3)·(x - k) / (x^2·(x + 3)) = 9·(x - k) / x^2

für k = 0 senkrechte Asymptote bei x = 0 mit VZW

für k ≠ 0 senkrechte Asymptote bei x = 0 ohne VZW und Nullstelle bei k

Es soll eine hebbare Definitionslücke bei x= -3 geben. Das weiß man direkt, weil die (x+3) gekürzt wurde, oder?

Genau

Doch wie kann man das feststellen, ohne lim x geht gegen null anzuwenden?

x^2 hat kein VZW bei 0 weil das Quadrat immer positiv ist

Also brauchst du nur sehen ob der Zähler ein VZW hat. x - k hat nur für k = 0 ein VZW. Ansonsten hat x - k bei 0 kein VZW.

Comments

abgesehen vom K-Wert, ich wollte wissen wie man die Regel anwendet mit (Vielfachheit der Nullstellen des Nenners - die des Zählers = gerade Zahl: VZW), konkret wie

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Zuerst solltest du alle kürzbaren Nullstellen im Zähler und Nenner kürzen.

Hast du dann noch Nullstellen im Nenner sind das Asymptoten.

Eine gerade Vielfachheit steht immer für kein Vorzeichenwechsel.

Eine Ungerade Vielfachheit steht für einen Vorzeichenwechsel.

Answer 2

nach dem Kürzen: \( \dfrac{9(x-k)}{x^2} \)

Es soll eine hebbare Definitionslücke bei x= -3 geben. Das weiß man direkt, weil mit (x+3) gekürzt wurde, oder?

So argumentierst du indirekt. Definitionslücken von Brüchen sind alle Nullstellen des Nenners. Du bestimmst sie gleich zu Beginn: Hier sind die Nullstellen des Nenners (Definitionslücken) x1 = -3 (einfache Nullstelle des Nenners) und x2 = 0 (doppelte Nullstelle des Nenners) .

Wenn du den Faktor (x+3) ganz aus dem Nenner wegkürzen kannst, lässt sich die Funktion an der Stelle x2 = -3 stetig ergänzen. Da sagt man, die Definitionslücke sei "hebbar".

Zwei Details:

1. Wenn du dfrac statt frac verwendest, sind die Exponenten über oder unter dem Bruchstrich leicht besser lesbar (Habe ich in deiner Frage nun so geändert).

2. Gleiche Faktoren entfernen nennt man "kürzen" nicht "abkürzen." Habe das in deiner Fragestellung korrigiert.