Aloha :)
Bei einer normal-verteilten Zufallsvariablen \(X\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Wert \(x<a\) ist, durch das Integral über die Gauß-Glocke gegeben:$$P(x<a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^ae^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{(x-\mu)}{\sigma}\right)^2}\,dx$$wobei \(\sigma\) die Standardabweichung der Zufallsvariablen \(X\) ist und \(\mu\) ihr Mittelwert ist. Dieses Integral kann nur numerisch bestimmt werden. Zur einfachen Berechnung des Integrals, kann man folgende Substitution durchführen:$$z:=\frac{x-\mu}{\sigma}\quad\Leftrightarrow\quad x=z\cdot\sigma+\mu \quad;\quad \frac{dx}{dz}=\sigma$$Diese Substitution wird z-Transformation genannt. Dabei ziehen wir von den \(x\)-Werten den \(x\)-Mittelwert \(\mu\) ab und dividieren das Ergebnis durch die \(x\)-Standardabweichung \(\sigma\). Die Rücktransformation folgt daraus sofort durch arithmetische Umformung. Bevor wir \(x\) und \(dx=\sigma\,dz\) in das obige Integral einsetzen, überlegen wir uns noch, was bei der Substitution mit den Integrationsgrenzen passiert:$$z(-\infty)=\lim\limits_{x\to{-\infty}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=-\infty\quad;\quad z(a)=\frac{a-\mu}{\sigma}$$Damit erhalten wir:$$P(x<a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{a-\mu}{\sigma}}e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{((z\sigma+\mu)-\mu)}{\sigma}\right)^2}\,\sigma\,dz=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{a-\mu}{\sigma}}e^{-z^2/2}\,dz=:\Theta\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$Durch Vergleich mit dem obersten Integral erkennt man, dass die neu eingeführte Zufallsgröße \(Z\) den Mittelwert \(\mu_z=0\) und die Standardabweichung \(\sigma_z=1\) hat. Man erhält durch die \(z\)-Transformation also eine standardisierte Normalverteilung. Diese wird oft mit \(\Theta(z)\) bezeichnet und kann tabellarisch dargestellt werden.
Zur Umrechnung:
Du kannst in einer dieser \(\Theta(z)\)-Tabellen den Wert für die Wahrscheinlichket \(P(x<a)\) suchen, aus der Tabelle ablesen, welchem \(z\)-Wert das entspricht und diesen dann mittels der Formel für die z-Transformation wieder in \(x=z\cdot\sigma+\mu\) umrechnen.
