Funktionsschar Ortskurve der Wendepunkte von Fa(x)= -x^3 + ax^2 -x -ax

Question

Gegeben ist die Funktionsschar :  Fa(x)= -x^3 + ax^2 -x -ax

Zeigen Sie ,dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben. Bestimmen Sie die zugehoerige Ortskurve.

Answer 1

Hi,

f(x) = -x^3+ax^2-x-ax

f'(x) = -3x^2+2ax-(1+a)

f''(x) = -6x+2a

f'''(x) = -6

f''(x) = 0 = -6x+2a

-6x = -2a

x = 1/3a

Da f'''(x) ≠ 0 haben wir in der Tat dort einen Wendepunkt. Für jedes a!

W(1/3a|f(1/3a)) -> W(1/3a|2/27*a^3-a^2/3-a/3)

Ortskurve

x = 1/3a

a = 3x

In den y-Wert des Wendepunkts einsetzen:

y = 2/27*a^3-a^2/3-a/3 ->

y = 2x^3 - 3x^2 - x

Grüße

Comments

Ist ja eigentlich ganz simpel! Dankeschoeennn :)