Aufgabe:
Gegeben ist eine Ökonomie mit einem Gut, drei Zuständen und drei Konsumenten. Für $$i=1, 2, 3$$ und $$s=1, 2, 3$$ sei $$x_s^i$$ der Konsum von i in s und $$\pi_s^i$$ die Wahrscheinlichkeit die Konsument i dem Zustand s zuweist. Es sind $$\pi^1=(0, 0, 1), \pi^2=(0, 0, 1), \pi^3=(\pi, 1-\pi, 1); \pi \in (0, 1)$$. Es gilt $$u^i(x)=ln(x)$$ und die Anfangsausstattungen der Konsumenten sind $$\omega_1=(1, 0, 0), \omega_2=(0, 1, 0), \omega_3=(0, 0, 2)$$ wobei $$\omega_s^i$$ die Anfangsausstattung von i in Zustand s ist. Weiterhin ist $$p_s$$ der Preis des Gutes in Zustand s.
Das Profitmaximierungsproblem für Konsument i lautet $$max \sum_{s=1}^3 \pi_s^i ln(x_s^i)$$ s.t. $$p_1x_1^i + p_2x_2^i + p_3x_3^i = p_1\omega_1^i + p_2\omega_2^i + p_3\omega_3^i$$
Normalisiere $$p_3=1$$ und berechne $$p_1, p_2$$ und die entsprechenden Konsummengen
Problem/Ansatz:
Mein Lösungsansatz findet sich im Anhang - ich habe es mit Lagrange-Optimierung versucht, allerdings führt das bei mir auf $$p_1=p_2=0$$ was laut Lösung falsch ist. Die korrekten Nachfragemengen sind $$x_1 = (0, 0, \frac{p_1}{p_3}), x_2=(0, 0, \frac{p_2}{p_3}), x_3=(\pi\frac{2p_3}{p_1}, (1-\pi)\frac{2p_3}{p_2}, 0)$$.
Kann mir jemand einen Tipp geben was ich hier falsche mache und wie man auf die korrekte Lösung kommt? Vielen Dank im Voraus!
