Abbildungsmatrix bestimmen

Question

Zur Klausurvorbereitung benötige ich Hilfe bei der Bestimmung einer Abbildungsmatrix.

Aufgabe:

Gegeben ist die lineare Abbildung

f\( \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 3 \\ 6  \end{pmatrix} \)   ,   f\( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} -3 \\ 3  \end{pmatrix} \)   ,   f\( \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 3  \end{pmatrix} \)

und die Basen

A=(\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \))

B=(\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2  \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \))

a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M^A_B(f), die einen Vektor x ∈ R³ in der Darstellung bezüglich A in f(x) in der Darstellung bezüglich B umformt.

b) Bestimmen Sie f (2*\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)) in der Darstellung bezüglich B.

Problem/Ansatz:

Die Lösungen dafür besitze ich bereits, allerdings kann ich diese nicht ganz nachvollziehen, weil ich nicht verstehe wie man darauf kommt. Also würde ich mich über eine entsprechende Erklärung des Lösungsweges freuen.

Lösungen:

a) M^A_B(f) = \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \)

b) f(v)B = M^A_B(f) * v_a = \( \begin{pmatrix} 4  \\ 1 \end{pmatrix} \) mit v_a=\( \begin{pmatrix} 2  \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) -> (wie man auf (4,1) kommt verstehe ich, aber nicht wie man auf v_a kommt)

Answer 1

Aloha :)

Bei der Aufgabenstellung geht alles durcheinander. Damit die Aufgabenstellung zur angegebenen Lösung passt, muss man ergänzen, dass die Eingangs-Vektoren \(x\in\mathbb{R}^3\) bezüglich der Standardbasis E gegeben sind und dass auch die transformierten Ausgangs-Vektoren \(y\in\mathbb{R}^2\) wieder in der Standardbasis E angegeben werden sollen. Die ganz oben angegebene Funktion \(f\) erwartet Eingangsvektoren bzgl. der Basis \(A\) und liefert Ausgangsvektoren bzgl. der Basis \(B\). Gesucht ist daher auch nicht die Transformations-Matrix \(M^A_B\) von Basis A zur Basis B, sondern die Transformations-Matrix \(M^E_E\) von der Einheits-Basis E zur Einheits-Basis E. Ich verwende im Folgenden die richtigen Bezeichnungen, lass dich davon also bitte nicht irritieren. Wichtig ist, dass die Rechnung klar wird.

Wir bestimmen zunächst die Abbildungs-Matrix für die Funktion \(f\) in der Form \(M^A_B=\left(\begin{array}{c}a & b & c\\d & e & f\end{array}\right)\)$$\left(\begin{array}{c}a & b & c\\d & e & f\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\5\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\6\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}a+5b+4c &=& 3\\d+5e+4f &=& 6\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}a & b & c\\d & e & f\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\2\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\3\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}2a+2b+5c &=& -3\\2d+2e+5f &=& 3\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}a & b & c\\d & e & f\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\3\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\3\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}a+3b+3c &=& 0\\d+3e+3f &=& 3\end{array}$$Damit haben wir 3 Gleichungen für \(a,b,c\) und 3 Gleichungen für \(d,e,f\). Das Lösen dieser Gleichungssysteme [hier nicht vorgeführt] liefert die Transformations-Matrix$$M^A_B=\left(\begin{array}{c}-9 & 0 & 3\\-6 & 0 & 3\end{array}\right)$$Nun liegen die Eingangsvektoren \(x\) bzgl. der Standard-Basis E vor und müssen zunächst in die Basis A transformiert werden. Die Transformationsmatrix \(M^E_A\) dafür bekommt man, indem man die neuen Basisvektoren als Spaltenvektoren in die Matrix einträgt:$$\vec x_A=M^E_A\cdot\vec x_E=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\2 & 0 & 3\\3 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x_E$$Nach Anwendung von \(M^A_B\) liegen die Ausgangs-Vektoren bzgl. der Basis B vor und müssen in die Standard-Basis \(E\) zurück transformiert werden. Die Transformations-Matrix \(M^E_B\) von der Standard-Basis \(E\) zur Basis \(B\) erhalten wir wieder, indem wir die neuen Basis-Vektoren in die Spalten eintragen:$$\vec y_B=M^E_B\cdot\vec y_E=\left(\begin{array}{c}1 & 2 \\2 & 1\end{array}\right)\cdot\vec y_E$$Wir brauchen aber die umgekehrte Richtung von der Basis \(B\) zur Basis \(E\):$$\vec y_E=M^B_E\cdot\vec y_B=\left(M^E_B\right)^{-1}\cdot\vec y_B=\left(\begin{array}{c}1 & 2 \\2 & 1\end{array}\right)^{-1}\cdot\vec y_B=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-1 & 2 \\2 & -1\end{array}\right)\cdot\vec y_B$$Damit haben wir nun alles zusammen:$$\vec y_E=\overbrace{\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-1 & 2 \\2 & -1\end{array}\right)\underbrace{\left(\begin{array}{c}-9 & 0 & 3\\-6 & 0 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\2 & 0 & 3\\3 & 2 & 1\end{array}\right)}_{=\left(\begin{array}{c}0 & -3 & 3\\3 & 0 & 3\end{array}\right)}}^{=M^E_E(f)}\vec x_E=\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 1\\-1 & -2 & 1\end{array}\right)\vec x_E$$

In Teil (b) ist der Eingangsvektor \(\vec x_A\) zwar zur Basis A angegeben, aber freundlicherweise bereits mit den Basisvektoren von A ausgedrückt:$$\vec x_A=2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\3\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\2 & 0 & 3\\3 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\end{array}\right)=M^A_E\cdot\vec x_E$$Mit diesem \(\vec x_E\) kannst du nun direkt in die Matrix \(M^E_E\) von oben reingehen:

$$\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 1\\-1 & -2 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)$$

Ich hoffe für dich, dass die Aufgabenstellung in der Klausur richtig sein wird. Das schwierigste an der Aufgabe war, das Durcheinander in der Aufgabenstellung zu sortieren.

Comments

Bei der Aufgabenstellung geht alles durcheinander.
Das tut es durchaus nicht.

dass die Eingangs-Vektoren x∈R3 bezüglich der Standardbasis E gegeben sind
Nein. Die gegebenen Vektoren sind völlig basisunabhängig als Objekte an sich gegeben.
Die Standardbasis E zeichnet sich lediglich dadurch aus, dass die Koordinaten eines Vektors bezüglich dieser Basis gleich den Einträgen des Vektors selbst sind.

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Die Abbildungsmatrix \(M^A_B\) fällt bei der Rechnung tatsächlich ab, ist aber eine ganz andere als in der Lösung angegeben. Ich habe mit den Basen rumgespielt und keine andere Möglichkeit gefunden, um auf die Musterlösung zu kommen. Nur wenn zuvor die Ausgangsvektoren von der Standardbasis zur Basis A transformiert werden, dann die Abbildungsmatrix \(M^A_B\) angewendet wird und das Ergebnis dann von der Basis B wieder auf die entsprechende Standardbasis transformiert wird, kommt die Musterlösung raus.

Du hast zwar recht, dass Vektoren völlig unabhängig von einer Basis existieren. Aber sobald man sie in Komponenten angibt, legt man auch eine Basis fest.

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Vielen Dank!

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..  ist aber eine ganz andere als in der Lösung angegeben. Ich habe mit den Basen rumgespielt und keine andere Möglichkeit gefunden, um auf die Musterlösung zu kommen.

Erstaunlich! ich komme direkt auf die Musterlösung. Es ist$$X_f = M(f) \cdot X \\  \implies M(f) = X_f \cdot X^{-1} \\ \quad = \begin{pmatrix}3& -3& 0\\ 6& 3& 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 2& 1\\ 5& 2& 3\\ 4& 5& 3\end{pmatrix}^{-1}\\ \quad = \begin{pmatrix}-9& 0& 3\\ -6& 0& 3\end{pmatrix}$$und weiter ist$$M_B^A(f) = B^{-1} \cdot M(f) \cdot A \\ = \begin{pmatrix}1& 2\\ 2& 1\end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix}-9& 0& 3\\ -6& 0& 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 1& 0\\ 2& 0& 3\\ 3& 2& 1\end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix}2& 1& 1\\ -1& -2& 1\end{pmatrix}$$... und ich sehe auch nicht, dass in der Aufgabenstellung irgendwas durcheinander geht.

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Deine Matrix \(M(f)\) erwartet Vektoren zur Basis A und liefert Vektoren zur Basis B. Daher ist diese Matrix gleich \(M^A_B(f)\). Was du als Matrix \(M^A_B(f)\) angegeben hast, erwartet Vektoren zur Standardbasis \(E_3\) und liefert Vektoren in der Standardbasis \(E_2\). Daher ist das die Matrix \(M^E_E(f)\) oder einfach \(M(f)\).

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Deine Matrix M(f) erwartet Vektoren zur Basis A und liefert Vektoren zur Basis B

Nein - so ist \(M(f)\) nicht gemeint. \(M(f)\) soll lediglich die Abbildungsmatrix der Abbildung \(f\) sein. Nicht mehr und nicht weniger.

Die Matrix \(M_B^A(f)\) erwartet Vektoren die \(A\) als Basis haben. Und das Ergebnis einer Multiplikation ist ein Vektor mit der Basis \(B\). Deshalb ist auch$$v_B = M_B^A(f) \cdot v_A = M_B^A(f) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ 1\end{pmatrix}_A =  \begin{pmatrix} 4 \\ 1\end{pmatrix}_B$$

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Achso, jetzt verstehe ich, was du denkst. Vielleicht hätten wir bzw. der Aufgabensteller die Basen besser immer direkt mit an die Koordinaten schreiben sollen, damit die Bezgussysteme klar werden. Ich denke, das mache ich zukünftig so, um Verwirrungen zu vermeiden ;)

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Vielleicht hätten wir bzw. der Aufgabensteller die Basen besser immer direkt mit an die Koordinaten schreiben sollen, damit die Bezgussysteme klar werden.

Ich hatte schon bemerkt, dass (5 | 7 | -1) (meinetwegen auch spaltenweise geschrieben) ein Element des Vektorraumes ℝ^3 ist und als solches völlig unabhängig von einer Basis existiert und es selbst immer (5 | 7 | -1) ist. Zusätzlich kann man natürlich in diesem Vektorraum die eine oder andere Basis eiführen und dann schauen, welche Koordinaten (5 | 7 | -1) bezüglich dieser Basis hat.

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Vielleicht hätten wir bzw. der Aufgabensteller die Basen besser immer direkt mit an die Koordinaten schreiben sollen, ...

was nicht Not tut, da alle gegebenen Vektoren inklusive der Basen in ein und demselben System beschrieben - bzw. basisunabhängig sind. Da braucht es auch keine Unterscheidung.

Answer 2

Hallo

dein va=2*a1-a2+a3 wobei die ai die Basisvektoren sind, wenn man in dieser Basis rechnet ist a1=(1,0,0) a2=(0,1,0) a3=(0,0,1) und deshalb va in der Basis A va=(2,-1,1)

(dabei sind die ursprünglichen Vektoren in der Standardbasis gegeben.)

Gruß lul

Comments

Erstmal Danke, aber warum nehme ich die Vektoren der Einheitsmatrix für a1 a2 a3, muss ich die erst bestimmen oder ist das einfach so?

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Hallo

dass ein Vektor v=(1,0,0) in einer Basis ist  ist die Kurzschreibweise für 1*b1+0*b2+0*b3  wenn die b die Basisvektoren sind. (1,2,3) ist die Kurzschreibweise für 1*b1+2*b2+3*b3. deshalb muss man eigentlich, wenn man Vektoren als Tripel von Zahlen schreibt, immer die Basis dazusagen. Eigentlich müsste das in jeder Frage dabeistehen. also müsste man schreiben die in A als Basisvektoren angegebenen sind in der Standardbasis des R^3 angegeben. Da man das aber fast immer so macht, wurde das Weggelassen. also a1 in der Standardbasis ist  (1,2,3) in der A- Basis ist es einfach (1,0,0)

inder B-Basis ist (1,2) der in der Standardbasis angegebenen Vektor b1 , in der B Basis ist er (1,0)

Gruß lul