Aloha :)
a) Die Abbildung ist linear, weil das Integral linear ist:
(i) Homogenität mit \(a\in\mathbb R\) und \(u\in\Pi_2\)$$\varphi(a\cdot u)=\int\limits_0^1(a\cdot u)(x)\cdot x^2\,dx=\int\limits_0^1a\cdot u(x)\cdot x^2\,dx=a\int\limits_0^1u(x)\cdot x^2\,dx=a\cdot\varphi(u)$$
(ii) Additivität mit \(u,v\in\Pi_2\)
$$\varphi(u+v)=\int\limits_0^1(u+v)(x)\cdot x^2\,dx=\int\limits_0^1u(x)\cdot x^2\,dx+\int\limits_0^1v(x)\cdot x^2\,dx=\varphi(u)+\varphi(v)$$
b) Die Spalten der Abbildungsmatrix \(M\) sind die Bilder der Basis"vektoren".
$$\varphi(1)=\int\limits_0^11\cdot x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}$$$$\varphi(x)=\int\limits_0^1x\cdot x^2dx=\int\limits_0^1x^3dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{4}$$$$\varphi(x^2)=\int\limits_0^1x^2\cdot x^2dx=\int\limits_0^1x^4dx=\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{5}$$
Das führt auf die Abbildungsmatrix:
$$M=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)=M\begin{pmatrix}\alpha_0\\\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}$$
Ich verstehe nicht, was die Darstellung der Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis des \(\mathbb R^2\) sein soll. In die Abbildung gehen 3 Parameter rein \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) und es kommt ein Wert (das Integral) als Ergebnis heraus. Ich könnte mir vorstellen, dass man als Eingangsbasis die Monombasis beibehält und als Ausgangsbasis die des \(\mathbb R^2\) verwendet. Dann wäre aber die \(y\)-Koodinate immer null, weil das Ergebnis aus \(\mathbb R\) und nicht aus \(\mathbb C\) ist. Also wäre mein Vorschlag
$$M'=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
Aber sicher bin ich mir da nicht. Habt ihr was dazu in der Vorlesung gehabt?
