Aufgabe:
Aufgabe 3 (Basen, Bild und Kern) Wir betrachten die Abbildung
\( \begin{array}{l} F: \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\ p(x) \mapsto F(p):=\left(\begin{array}{c} p^{\prime}(-1) \\ p^{\prime}(0) \\ p^{\prime}(1) \end{array}\right) \end{array} \)
wobei \( p^{\prime}(x) \) wie üblich die Ableitung des Polynoms \( p(x) \) bezeichnet und \( \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 ist.
1. Wählen Sie eine Basis von \( \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \) und geben Sie die Abbildungsmatrix von \( F \) an.
LÖSUNG:
1. Das Ergebnis hängt hier davon ab, welche Basis Sie wählen. Wählen wir für den Vektorraum \( \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \) die Basis \( \mathbf{v}_{1}=1, \mathbf{v}_{2}=t, \mathbf{v}_{3}=t^{2} \) und für \( \mathbb{R}^{3} \) die Standardbasis, erhalten wir:
\( \begin{array}{l} F\left(\mathbf{v}_{1}\right)=F(1)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ F\left(\mathbf{v}_{2}\right)=F(t)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \\ F\left(\mathbf{v}_{3}\right)=F\left(t^{2}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \\ \text { und damit }_{\underline{\mathbf{v}}} \operatorname{Mat}_{\underline{\mathbf{e}}}(F)=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \text {. } \\ \end{array} \)
Problem/Ansatz:
Wie kommt man auf diese Vekoten ( (0 0 0) , (1 1 1) , (-2 0 2) )um die Matrix zu bilden?
