Die Abbildungsmatrix \(A\) erwartet Eingangsvektoren, die bezüglich der Standardbasis des \(\mathbb R^4\) angegeben sind, und liefert auch Ergebnisvektoren bezüglich dieser Standardbasis des \(\mathbb R^4\). Daher hat \(A\) auch 4 Zeilen und 4 Spalten, denn der \(\mathbb R^4\) hat 4 Standard-Basisvektoren \(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3,\vec e_4\).
Die Matrix \(A_V\) erwartet hingegen Eingangsvektoren, die bezüglich der Basis \(V\) angegeben sind. Da die Basis \(V\) nur 2 Vektoren enthält:$$V=\left(\,\vec v_1\,,\,\vec v_2\,\right)$$haben alle Vektoren dieses Vektorraums 2 Komponenten. Der Basisvektor \(\vec v_1\) lautet in \(V\) einfach \(\binom{1}{0}_V\) und der Basisvektor \(\vec v_2\) lautet in \(V\) einfach \(\binom{0}{1}_V\). Das \(V\) habe ich als Index dazu geschrieben, damit klar wird, dass sich die Komponenten des Vektors nicht auf die Standardbasis des \(\mathbb R^4\), sondern auf die Basis \(V\) beziehen:$$\vec v_1=\binom{1}{0}_V=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \vec v_2=\binom{0}{1}_V=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$$Die Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) ändern sich nicht, aber das Koordinatensystem um sie herum hat 2 Koordinaten-Achsen im Falle von \(V\) oder 4 Koordinaten-Achsen im Falle der Standardbasis. Zur Beschreibung des Vektors reichen daher in \(V\) zwei Koordinaten aus, wohingegen in der Standardbasis vier Koordinaten nötig sind.